Билет 5.

Экзаменационные билеты по геометрии

Для 8 класса (с углубленным изучением предмета).

Билет 1.

1. Признаки параллелограмма с доказательством.

2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности. (Вывод формулы.) Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

3. Задача по теме: «Окружность и многоугольник».

а) (91) Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1: 2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

б) (93) В равнобедренную трапецию с острым углом a вписана окружность. Какой процент площади занимает площадь четырехугольника с вершинами в точках касания?

Билет 2.

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).Доказательство одной из них.

2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника.

3. Задача по теме «Вписанная окружность».

а) (11) В треугольнике АВС углы А и В равны 38° и 86° соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в треугольник АВС окружностью.

б) (32). В трапецию вписана окружность радиуса 6. Точка касания делит нижнее основание трапеции на отрезки длины 9 и 12. Найдите стороны трапеции.

Билет 3.

1. Свойства хорд и диаметров. Пропорциональные отрезки в круге. (доказательство)

2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

3. Задача по теме «Комбинации окружностей».

а) (39) В круговой сектор с углом 60° помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.

б) (40) Найдите площадь фигуры и длину границы фигуры, являющейся общей частью двух кругов радиуса R каждый, если расстояние между их центрами также равно R.

Билет 4.

1. Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу.

3. Задача по теме «Углы в окружности».

а) (34) В окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника.

б) (37) На окружности с центром в точке О выбраны точки М и Н. Вторая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке М и делит пополам отрезок ОН. Найдите угол ОНМ.

Билет 5.

1. Ромб (определение). Свойства ромба. Признаки ромба.

2. Описанный четырехугольник

3. Задача по теме «Правильные многоугольники».

а) (42) Точка F лежит на стороне АВ правильного восьмиугольника ABCDMNPQ так, что AF = 3 , FB = . Найдите расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны восьмиугольника.

б) (43) ABCDEF – правильный шестиугольник площади S. Какая фигура образуется в пересечении треугольников ACE и BDF? Найдите ее площадь.