J о о о

Як бачимо з цих формул, щоб знайти малі зміни дирекційних кутів da, необхідно, крім зміни координат точок, ще знати довжини ліній 5_; та кое­фіцієнти (а), і (Ь)..

Розділ II

11.5.6. Обернена багаторазова кутова засічка

Суть оберненої багаторазової кутової засічки пояснена у п. ІІ.5.4. Для складання рівнянь, на основі яких можна буде знайти поправки Ь_х та 5_У у наближені координати точки, скористаємось рис. II.5.6, на якому зображено дві вихідні (" тверді") точки 7] та 7]₊₁; точка Р₀, наближені координати якої Х₀ та Y₀, та точка Р, найімовірніші координати якої X та Y поки що невідомі.

На підставі рис. ІІ.5.6 можемо записати очевидні, наведені нижче рівнян­ня. Віднімемо від першого рівняння друге:

Р, =а, ₊₁-а,. (1)

Р₀/=«₀, -₊і-«₀/ ___________________ (2). (И.5.28)

Р, -Рш= «; +! -«, -а₀; +і+а₀;

da,...ЛТі.-■ $■ ■ ■ '

------- (ІССіХТі-..

.... ^х-'^: -'Ат_і+1

Рис. 11.5.6. Зміни дирекційних кутів та координат під час елементарного переміщення шуканої точки Р

Рівнянь (ІІ.5.28) можна записати стільки, скільки виміряних кутів (3_/. З цього самого рисунка, своєю чергою, можна записати:

a_M=a_oM+da_M (3)

a,.=(x_o; +< ta_; (4)'

У (И.5.28) сс₍₊₁ та а, замінимо їхніми значеннями, відповідно до (3) та (4) отримаємо:

Р, - " Ро/ = ^ао/₊і ^{+ da}M ~ ^aoi ~ ^«, - сс₀₍₊₁ + a_oi, або, після скорочення, матимемо:

р\-|З_о/=с/ос_/+1-< /сх_г.. (П.5.29)

Планові геодезичні мережі

Це рівняння можна було б записати також на основі рисунка, оскільки під час переміщення точка Р₀ в точку Р кут Р₀ • перетвориться на (3, -, а різниця зміни дирекційних кутів doij та da_j+i перетвориться на нуль. У (П.5.28) (З_о/ знаходять як різницю відомих дирекційних кутів а_ш+1 та a_oj; Р, поки що невідома величина. У рівнянні (II.5.29) немає виміряного кута. Позначимо вимі­ряний кут (3; і введемо його у (П.5.29), віднявши і додавши його. Одержимо:

Р,.-р; +р; -Р₀,.=< /(х,.₊₁-< /а,.. (И.5.30)

Позначимо відому різницю Р_о; - Р- = /,, а невідому різницю Р, - Р/ = vj, тоді (ІІ.5.30) набуде вигляду рівняння похибок:

v, = da_M - ddj + /, -. (П.5.31)

Замінимо у (П.5.31) зміни дирекційних кутів da_i+l та da_i змінами коор­динат відповідно до отриманої диференційної формули (П.5.26) (обернена засіч­ка): під час зміни координат точки Р₀ змінюються дирекційні кути сх_{о; +1} та а₀₍-:

М (Ь,) (а_м) (Ь_м)

v^^dX + ^dY-^y-dX-^-t-dY + li, (II.5.32)

$оі $оі $оі+\ $оі+\

або

М K.)U ₊ j(M_(WU _{+ /i}. (И.5.33)

$оі+1 $оі *оі+1

Позначимо

А.= nZ_J! Ј±L ; ві = \V21_V2111 1 (Ц.5.34)

$оі+1

Тоді отримаємо скорочений, остаточний вигляд рівнянь похибок:

v_i=A_idx + B_idy + l_i. (ІІ.5.35)

Таких рівнянь можна записати стільки, скільки виміряних кутів:

Vj = A_ldx + B_xdy + l_x

v₂ = A₂dx + B₂dy +1₂

v₃ = A₃dx + B₃dy + /₃

(II.5.36)

v_n=A_ndx + B_ndy + l_n

Нормальних рівнянь буде стільки, скільки невідомих. У нас невідомі dx та dy. Тому буде два рівняння:

\AA]dx + \AB]dy + \Al] = 0 I

>. (II 5 37)

[AB]dx + [BB]dy+ [Bl] = 0\

Розділ II

Знайдемо невідомі dx та dy.

dx —

[АВ] [Bl]-[BB] [Al]

(II.5.38)

[AA] [BB]-[AB] [AB] [AB] [A1]-[AA] [Bl]

dy =

[AA] [BB]-[AB] [AB]

Оскільки S_t у km, a p" приймемо таким, що дорівнює 20 6265, тоді dx та dy буде виражено в десятих частках метра (у дециметрах). Тому:

(ІІ.5.39)

Х = Х_о+0, \ dx\ У = У_о+0, 1 dy У

11.5.7. Точність прямої та оберненої багаторазових кутових засічок Для оцінки точності таких засічок необхідно знайти середні квадратичні

т.

похибки вимірювання кутів т$ та середні квадратичні похибки т_х та визначення координат точки Р. Як відомо, з теорії похибок, та обчислюється за формулою

" Р

Ша =

п-2

(П.5.40)

Похибки v_; =р_г-(З, ' (Р, - виправлені, Р-- виміряні кути) знаходять за системою рівнянь похибок (II.5.36). У знаменнику формули (П.5.40)(я-2)-кількість надлишкових виміряних кутів (два необхідні). Квадратичні похибки т_х та т_у визначаться за формулами

т_г =

та

\т_у =

та

(II. 5.41)

де Р_х та Р_у - ваги вимірів. Як відомо,

або

[АВ] [АВ]

[АА] [АА] [ВВ]-[АВ] [АВ]

(П.5.42)

Планові геодезичні мережі

Як бачимо, чисельник (II.5.42) дорівнює знаменникам системи рівнянь (ІІ.5.38). Позначимо:

D = [AA][BB]-[AB][AB]. (II.5.43)

Тоді формула ваги Р скорочено запишеться так:

^г> ^шщ- ^{(, L5}'⁴⁴⁾

D- вже відома величина, і її не потрібно розраховувати, як і суму [АА]. Своєю чергою, вагу Р_х знаходять за формулою

[АА]

Р_х=\ ----- \-Р_у. (ІІ.5.45)

* [ВВ] ^у

З урахуванням (II.5.44) для Р_х маємо:

D

(ІІ.5.46)

^х [ВВ]'

У табл. II.5.1 подано приклад розв'язання оберненої багаторазової засічки з оцінкою точності обчислення найімовірніших координат.

11.5.8. Точність прямої та оберненої одноразових кутових засічок

Для кожної з таких засічок вимірюються два кути: для прямої - по одному куту на двох точках, а для оберненої - два кути на одній точці (див. рис. ІІ.5.7).

/г\

Т,

А

Рис. II. 5.7. Визначення точності одноразових засічок: а - прямої; б - оберненої

Для таких засічок можна скласти тільки по два рівняння похибок виду (ІІ.5.35).

Розділ II

Відповідно до (П.5.41) можемо записати формулу похибки у визначенні координат точки Р:

або

(П.5.47)

Підставляючи в (П.5.47) значення обернених ваг, будемо мати після деяких перетворень:

(И.5.48)

Якщо , а у ⁼ 90°, то (ІІ.5.48) набере вигляду:

(ІІ.5.49)

Як бачимо, похибка координат точки Р прямо пропорційна до довжини ліній та похибки вимірювання кутів. Якщо т" р = 5", S = 3000 м, тоді М =

0, 10 м. Для оберненої одноразової засічки оцінити точність визначення коор­динат значно складніше. Професором О.С. Чеботарьовим запропонований такий метод [28]. Будують так званий " зворотний" трикутник (рис. II.5.7). Для цього обчислюється

(II. 5.50)

Значення г_і відкладають у напрямках від точки Р. Отримують на лініях

S_l, S₂, S₃ точки 1, 2, 3, що є вершинами " зворотного" трикутника. Довжини

сторін цього трикутника СГ,, (7₂, (7₃ вимірюють графічно. Вираховують площу

трикутника F також графічно, або за формулою Герона. Похибка М_р у поло­женні точки Р визначається за формулою

де

Шр - похибка вимірювання кутів; т_тпр - похибка вимірювання напрямків.

Розділ II

11.5.9. Лінійна геодезична засічка

Визначення координат точки Р за координатами двох вихідних (відомих) пунктів А і В та двома виміряними віддалями d_x та d₂ від шуканої точки до вихідних пунктів називають лінійною геодезичною засічкою.

Розв'язавши обернену геодезичну задачу, за координатами точок А (X_А, Y_A) та В (Х_в, Y_B), знайдемо довжину сторони АВ =d, та її дирекційний кут (Х_А__В. Тоді в трикутнику АВР будуть відомі усі три сторони. Трикутник розв'язується.

Рис. 11.5.8. Лінійна геодезична засічка

За формулами тригонометричних функцій косинусів (або тангенсів) поло­винних кутів обчислимо кути трикутника:

2 \ dd₂

Знаючи всі шість елементів трикутника АВР, за формулами прямої та оберненої засічок можна обчислити координати точки Р два рази: за коор­динатами точки А та за координатами точки В. Контролюють обчислення за збігом координат. Проте, якщо зроблено похибку під час польового вимірю-

Планові геодезичні мережі

вання лінії d_x або d₂, то ця похибка не виявиться. Тому для контролю польових вимірювань потрібно мати не дві, а три вихідні точки та виміряти ще одну, третю лінію.

Розв'язання може бути виконане і без обчислення кутів трикутника АВР [8]. Покажемо це. Знайдемо основу перпендикуляра точки Р на лінії АВ. Залежно від того, тупий чи гострий кут /З, отримаємо основу перпендикуляра

(точку D) на продовженні лінії ВА або на лінії АВ.

Відрізок q - проекція d_x на d; . Кут /З поки що невідомий.

Якщо кут /З гострий, матимемо:

(П.5.56) Якщо кут /З тупий, то:

(ІІ.5.57) У нас /3 гострий кут. Тому маємо:

(ІІ.5.58)

З прямокутного трикутника APD можемо записати:

(ІІ.5.59) Оскільки h — d_x sin /3, то

(ІІ.5.60)

Дирекційний кут ОС_А__в буде дорівнювати

(П.5.61)

Знак кута /3 вибирають залежно від того, ліворуч чи праворуч розта­шована точка Р відносно лінії АВ. Праворуч " + [3 ", ліворуч " -/З ". У нашому випадку - ліворуч.

Прирости координат точки Р відносно пункту А, координати якого відомі, обчислимо за формулами

(ІІ.5.62) (П.5.63)

Розділ II

11.5.10. Визначення координат двох точок за відомими координатами двох інших точок (задача Ганзена)

Допустимо, координати точок полігонометрії і| та? ₂ необхідно одночасно визначити щодо координат пунктів Т_х та Т₂ тріангуляції. Існує багато розв'язків такої задачі. Одним із найдоцільніших серед них є розв'язок, який можна назвати методом умовного базису.

Суть цього методу полягає в тому, що довжину лінії Р_х-Р₂ умовно прий­мають за одиницю. Потім, за виміряними кутами Д, (3₂, Д, Д, ^та> вважаючи лінію Р_х-Р₂ відомою, такою, що дорівнює Ь₀, розв'язуванням трикутників Т_х Р₂ Р_х та Т₂ Р₂ Р^ визначають сторони S^, S₂, S'₃, S'₄.

Планові геодезичні мережі

Оскільки у кожному з двох трикутників 7J Т₂ Р_х та Т_х Т₂ Р₂ відомі дві сторони та кути між ними Д та Д,, то ці трикутники розв'язуються. Можна знайти третю сторону та два інші кути. Знайдемо також кути (р та Я. Тепер у нас є можливість два рази, з контролем, знайти довжину b в цій умовній одиниці довжин. Позначимо цю умовну довжину Ь'. З трикутників Г, Т₂ Р_х та Т_х Т₂ Р₂ відповідно маємо:

(П.5.65)

Отже, справді Ь визначено з контролем (двічі). Два результати b повинні сходитися у межах точності обчислень. Але фактичну довжину цієї лінії b та її дирекційний кут ми можемо визначити за координатами пунктів Т_х та Т₂.

З відношення b до Ь' ми знайдемо дійсну довжину лінії Р_х—Р₂. Позна­чимо цю довжину S:

(И.5.66)

Тепер у нас є всі необхідні дані, щоб знайти дирекційні кути і фактичну довжину усіх чотирьох ліній:

Залишається за довжинами ліній та дирекційними кутами визначити прирости координат, а потім і координати точок Р_х та Р₂. Координати кожної з цих точок будуть обчислені двічі, що і буде їхнім кінцевим контролем.

Розглянутий спосіб є дуже простим та природним. Найдоцільнішим випадком визначення координат двох точок буде той, коли форма, створена двома заданими та двома шуканими точками, близька до квадрата. Потрібно уникати дуже гострих кутів у чотирикутнику.

11.5.11. Прив'язування пунктів полігонометрії до постійних об'єктів місцевості. Відшукування полігонометричних пунктів

Від прокладення полігонометричної мережі до її використання для топознімання може пройти декілька років, і, як би фундаментально не закріплювались пункти, все ж знайти їх на місцевості буває дуже важко. Головна мета прив'язування пунктів до постійних предметів, як вже

Розділ II

відзначалося - забезпечити їх знаходження. Способи такого прив'язування різноманітні. Суть їх стане зрозумілою після ознайомлення з типовими прик­ладами прив'язування.

О ^6^ о

Рі РМ Р, ₊2

Рис. 11.5.10. Прив'язування до фасаду будинку

Якщо полігонометричний хід проходить біля постійних предметів, то прив'язування виконують переважно лінійними вимірюваннями - рулетками. Наприклад, якщо маємо LMNS - цегляну або кам'яну споруду (будинок), а точка ходу Р_м розташована біля стіни MN, тоді доцільно опустити на лінію

MN фасаду перпендикуляр з точки Р_п+Х та виміряти довжину перпендикуляра

a. Крім того, доцільно виміряти віддалі b і с від основи перпендикуляра, тобто від точки К, до кутів будинку. Цих вимірів достатньо, щоб знайти точку Р_п+{, але безконтрольно. Прив'язування необхідно виконувати так, щоб обов'яз­ково був контроль. Тому необхідно ще виміряти віддалі d та є від кутів бу­динку М та N до точки Р_м. Тепер точку Р_м можна знайти з контролем лінійними засічками, використовуючи довжини a, d та є.

Прив'язування до кута будинку

Якщо хід проходить біля кута будинку, то прив'язування можна виконати методом створів, а саме: продовження стіни AN дає на стороні ходу точку L, а продовження стіни BN - точку М.

Крім того, потрібно з точки tV опустити, за допомогою екера, перпен­дикуляр на цю саму лінію ходу. Точки М, R та L необхідно зафіксувати. Для цього необхідно виміряти відрізки с, a, Ь, а також частини 5, та S₂ сторони ходу P_t—P_M. Цих даних достатньо, щоб з контролем, якщо необхідно, відно­вити положення точок М, L та R. Якщо ж продовжити створ відрізка ML, то

Планові геодезичні мережі

зможемо знайти точки Р_і та Р_м. Для точнішого встановлення напрямку сто­рони полігонометричного ходу корисно виміряти на одній з точок М, R або L кут є між напрямком сторони ходу та напрямком на віддалений, стійкий предмет Q. Оскільки дирекційний кут лінії Р₁ та Р_м відомий, тоді буде відомий і дирекційний кут ліній RQ та RN. Отже, у результаті прив'язу-вальних вимірювань можна отримати на місцевості координати додаткових точок R та N. Це може виявитись корисним, наприклад, під час поновлення пунктів Р_і та Р_м.

Рис. 11.5.11. Прив'язування двох пунктів P_t та Р_м до кута будинку

Прив'язування до залізниці

Розділ II

Якщо полігонометричний хід перетинає залізницю, необхідно на осі дороги визначити точку А - перетин осі з лінією ходу; виміряти віддалі 5, та S₂ від цієї точки до початку та кінця лінії, а також виміряти кут Є між нап­рямком лінії та осі залізниці та виміряти віддаль від точки А до найближчого кілометрового стовпа, ліворуч чи праворуч, відносно лінії P_t-P_M ■

Контролями прив'язувальних вимірювань у такому разі є те, що сума S_Y + S₂ повинна дорівнювати довжині сторони ходу P_t-P_M. Відома також віддаль до наступного кілометрового стовпа.

Прив'язування до далеких предметів

У малонаселених районах близькі стійкі предмети місцевості просто відсутні. Одночасно часто трапляються випадки, коли з полігонометричних пунктів видно далекі предмети місцевості: поодинокі дерева, перехрестя доріг, чіткий край лісу тощо. У такому разі необхідно виміряти кути Д і Д (рис. II.5.13), як це робиться в задачі Потенота та, крім того, виміряти кути 7] та £ для орієнтування сторін ходу. Під час пошуку пункту Р_{ треба встановлювати теодоліт послідовно в такі точки, щоб вимірювані кути наближалися до відомих Д і Д. Контролем будуть кути У] та Є. Доволі корисно для такого прив'я­зування використовувати метод створів.

Під час прив'язування необхідно дотримуватися одного загального пра­вила: кількість елементів прив'язування повинна бути необхідною і достатньою для того, щоб поновити хоча б два сусідні пункти полігонометричного ходу.

Зрозуміло, що для відшукування пунктів можна використовувати не тільки прив'язування цих пунктів до предметів місцевості, але й прив'язування до пунктів тріангуляції, трилатерації чи полігонометрії старших класів.

Планові геодезичні мережі

Відшукування пунктів за прив'язками до інших пунктів геодезичних мереж застосовують найчастіше для поновлення пунктів полігонометрії. Якщо, наприклад, було виконане прив'язування пункту Р до пунктів тріангуляції Г_р Т₂ та Г₃ (рис. П.5.14) розв'язанням задачі про четверту точку (задачі Потенота), то для відшукування втраченого пункту потрібно, ставши на місцевості там, де передбачається, розмістити цей пункт (наприклад, у точці М), визначити координати точки М, користуючись пунктами тріангуляції Т_х, Т₂, Т_г.

Тепер, знаючи координати точки М і координати точки Р, ми можемо поновити точку Р. Для цього за координатами обчислюється довжина та напрямок лінії MP. Далі, знаючи дирекційний кут лінії (МТ₃), знаходять кут Ц за формулою:

Рис. 11.5.14. Відшукування пункту полігонометрії, прив'язаного до пункту тріангуляції

Додамо кут 7] до відліку лімба теодоліта, який встановлено в точці М і труба якого наведена на точку Т₃, отримаємо новий відлік, який необхідно вста­новити на лімбі, відкріпивши алідаду і повертаючи трубу в горизонтальній площині. Далі, користуючись вертикальною ниткою сітки, виставляють віху у напрямку візирної осі труби. Залишається за цим напрямком відкласти довжину обчисленої лінії MP, і місце точки Р на місцевості буде знайдено.

Розділ II