![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Преобразования Лапласа
Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида
где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что
то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s). Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением. Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s). Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов
Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа
Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)
Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:
где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота. Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. таблицы 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3). Более полные таблицы преобразований Лапласа можно найти, например, в [22, 23]. Существует несколько теорем преобразования Лапласа. Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f1 имеет изображение F1(s) (или более кратко f1 «F1(s)), f2 «F2(s) и т.д., то a1.f1 + a2.f2 + … + an.fn «a1.F1(s) + a2.F2(s) + … + an.Fn(s). Теорема 2. Теорема дифференцирования. Если f(t) имеет изображение F(s), то при нулевых начальных условиях (т.е. при f(0) = 0, f’(0) = 0 и т.д.) производные f(t) будут иметь изображения: f’(t) «s.F(s) – для первой производной, f ”(t) «s2.F(s) – для второй производной, f(n)(t) «sn.F(s) – для n-й производной. При ненулевых начальных условиях: f’(t) «s.F(s) – f(0) – для первой производной, f ”(t) «s2.F(s) – s.f(0) – f’(0) – для второй производной, f(n)(t) «sn.F(s) – sn-1.f(0) - sn-2.f’(0) - … - f(n-1)(0) – для n-й. Теорема 3. Теорема смещения. f(t).ea× t «F(s - a). Например, если 1(t) « Теорема 4. Теорема запаздывания. f(t - t) «F(s).e-t× s, где t - запаздывание по времени. Например, если 1(t) « Теорема 5. Теорема интегрирования.
Теорема 6. О начальных и конечных значениях.
где f(0) – начальное значение функции (при t = 0), fуст – конечное (значение в установившемся режиме). Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения: единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = дельта-функция X(s) = 1, линейное воздействие X(s) = Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа. Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 1.1, имеет вид X(s) = Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s): s2× Y(s) + 5× s× Y(s) + 6× Y(s) = 2× s× X(s) + 12× X(s), s2× Y(s) + 5× s× Y(s) + 6× Y(s) = 2× s Y(s)× (s3 + 5s2 + 6s) = 2× s + 12. Определяется выражение для Y:
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции: y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t. ¨ При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи: - путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей, - путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам. Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей: шаг 1 – определяются корни знаменателя si (знаменатель дроби приравниватся к нулю и решается полученное уравнение относительно s); шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида шаг 3 – определяются коэффициенты Mi по одному из вариантов расчета. Первый вариант. Определение Mi с помощью системы уравнений. Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество корней si и коэффициентов Mi). Решение системы относительно Mi дает искомые коэффициенты. Пример. Декомпозиция дроби из предыдущего примера. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s3 + 5s2 + 6s = 0 дает 3 корня: s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида s, (s – s1) = (s + 2) и (s – s2) = (s + 3). Исходная дробь декомпозируется на три дроби:
Далее дроби приводятся к общему знаменателю: = Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й стоит 2, свободный член равен 12):
5.М0 + 3.М1 + 2.М2 = 2 à M1 = -4 6.М0 = 12 M2 = 2 Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
Второй вариант. Определение коэффициентов Mi по формулам. Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида - Для нулевого корня si = 0 знаменатель исходной дроби можно записать в виде A(s) = s.A1(s); тогда коэффициент Mi можно определить как - Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) si:
где A’(s) – производная знаменателя по s. Примечание - Комплексные корни при решении уравнений появляются комплексно-сопряженными парами вида si = ai ± j× wi, где ai – действительныя часть корня, wi – мнимая часть, j – мнимая единица. Поэтому коэффициенты для этих корней также будут комплексно-сопряженными: Mi = ci ± di. То есть достаточно определить коэффициент только для одного корня, для парного корня он будет комплексно-сопряженным. - Для корня si кратности k исходная дробь может быть представлена в виде
данному корню соответствуют k дробей вида
коэффициенты которых определяются по формуле
Пример. Декомпозиция дроби. Рассматривается та же дробь, имеющая три корня: s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3. Для корня s0 = 0 имеем B(s) = 2.s + 12, A1(s) = s2 + 5s + 6,
Для корня s1 = -2 имеем A’(s) = 3.s2 + 10.s + 6 и
Для корня s2 = -3 имеем аналогично
Видно, что коэффициенты Mi, полученные разными методами, совпадают.¨
Пример. Случай обратного преобразования Лапласа при наличии комплексных корней. Изображение выходного сигнала имеет вид
Корни знаменателя включают нулевой корень, действительный и пару комплексных корней: s0 = 0; s1 = - 2, 54; s2, 3 = - 0, 18 ± j*1, 20. Изображение Y(s) разбивается на сумму четырех дробей:
Тогда оригинал y(t), согласно таблицам 1.1 и 1.2, имеет вид y(t) = y0(t) + y1(t) + y2, 3(t) = M0 + где a и w - действительная и мнимая части пары комплексных корней s2, 3, C и D – действительная и мнимая части пары коэффициентов М2 и М3. Для корня s0 = 0:
y0(t) = M0 = 0, 85. Для корня s1 = -2, 54:
y1(t) = Для корней s2, 3 = -0, 18 ± j*1, 20:
y2, 3(t) =2 е-0, 18t [-0, 34 cos(1, 20 t) - 0, 24 sin(1, 20 t)]. В итоге получаем оригинал: y(t) = 0, 85 – 0, 18 е-2, 54 t – 2 е-0, 18 t [0, 34 cos(1, 20 t) + 0, 24 sin(1, 20 t)].¨
|