Занятие 7. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация. Асимптоты.

1°. Определение непрерывности. Функция f (х)называется непрерывной при x = ξ (или «в точке ξ»), если: 1) эта функция определена в точке ξ, т. е. существует число f (ξ); 2) существует конечный предел .

Функция f (х)непрерывна в точке ξ тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области).

2°. Точки разрыва функции. Говорят, что функция f (х)терпит разрыв при значении x = x ₀ (или в точке x ₀), принадлежащем области определения функции или являющемся граничным для этой области, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если для функции f (x)существуют конечные пределы:

и

причем не все три числа f (х ₀), f(х ₀ − 0), f (x ₀ + 0) равны между собой, то x ₀ называется точкой разрыва 1 -го рода. В частности, если f(х ₀ − 0) = f (x ₀ + 0), то х₀ называется устранимой точкой разрыва.

Для непрерывности функции f (х)в точке х ₀ необходимо и достаточно, чтобы f(х ₀ − 0) = f (x ₀ + 0) = f(х ₀)

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода, называются точками разрыва 2-го рода.

К точкам разрыва 2-го рода относятся точки бесконечного разрыла, т. е. такие точки х ₀, для которых хотя бы один из односторонних пределов f(х ₀ − 0) или f(х ₀ + 0) равен ∞.

Задачи:

309. Доказать, что функция y = cos x непрерывна при любом х.

310. Для каких значений х непрерывны функции: a) tg x и б) ctg x?

313. Функция задана формулами

Как следует выбрать значение функции f (2), чтобы пополненная таким образом функция f (x)была непрерывна при х = 2? Построить график функции y = f (x).

Исследовать на непрерывность функции:

Домашнее задание: 310(б), 316(б, г, е)