Виконання роботи

Коливання річного стоку за якийсь проміжок часу обумовлене впливом великої кількості факторів, що викликають необхідність застосовувати методи математичної статистики при вивченні цих коливань. При достатньо тривалих і репрезентативних рядах спостережень розрахунки річного стоку рекомендується проводити за кривими забезпеченості.

Розрізняють ймовірність щорічного перевищення для явищ, що спостерігаються тільки один раз на рік; ймовірність перевищення серед сукупності усіх можливих значень для явищ, які можуть спостерігатись декілька разів на рік; ймовірність перевищення на території, дослідження в любому пункті.

Крива забезпеченості - це інтегральна крива, яка показує забезпеченість або ймовірність перевищення (у відсотках або в долях одиниці) даної величини серед загальної сукупності ряда. При розрахунках параметрів кривих забезпеченості значення гідрологічної величини розглядається у вигляді статистичного ряду, тобто ряду розташованого за зменшенням.

Криві забезпеченості можуть бути побудовані у вигляді емпіричних (спостережувальних) і аналітичних (теоретичних) кривих.

1. Емпіричні криві забезпеченості річних витрат стоку будують за ймовірністю перевищення Р % емпіричних точок, які обчислені для кожного члена ряду величин річного стоку за формулою:

, (1)

де: m – порядковий номер члена ряду розташованому за зменшенням;

n – загальна кількість членів ряду.

Розрахунки заносяться до табл. 1.

Таблиця 1

Розрахункова відомість забезпеченості стоку

Криві забезпеченості (емпірична і аналітична) будуються на спеціальній клітчатці ймовірності. По вертикальній осі слід відкласти модульні коефіцієнти К. По горизонтальній осі відкладаємо забезпеченість (Р %) у відсотках, а по верхній осі - період повторювання років (N). За значеннями К_Р (або 0₀) і Р % (табл. 4) наносимо емпіричні точки.

2. Аналітичні криві забезпеченості використовуються для згладжування і екстраполяції емпіричних кривих. Теоретичними схемами аналітичних кривих забезпеченостей, які використовуються при гідрологічних розрахунках випадкових величин, є схеми біномінального та трьохпараметричного гама-розподілення. Теоретичне обґрунтування цих методів викладено в роботах Д.Л. Соколовського, В.Г. Андріянова, С.М. Крицького, М.Ф. Менкеля, А.І. Чоботарьова та ін.

Параметрами аналітичних кривих забезпеченості є: середній багаторічний річний стік Q₀, коефіцієнт мінливості (варіації) С_v і коефіцієнт асиметрії С_s. Метод обчислення С_s залежить від коефіцієнта мінливості С_v:

- якщо С_v < 0, 5 використовують метод моментів;

- якщо С_v > 0, 5 використовують метод найбільшої правдоподібності;

- графо-аналітичний метод застосовують у випадку використання біномінальної кривої забезпеченості за любим значенням С_v.

При цьому необхідно враховувати можливу систематичну похибку оцінки коефіцієнта мінливості стоку С_v, що збільшується при наявності значного коефіцієнта автокореляції членів руху.

Відхилення середньорічних величин стоку від норми виражається загальною середньоквадратичною похибкою σ Q, яка визначається за формулою:

, (2)

а) За даними табл.1, де середні річні витрати розташовані за зменшенням, обчислюємо норму стоку за формулою:

, (3)

де: Q_o - норма стоку, м³/с;

Q_i - середньорічна витрата, м³/с;

N - кількість років спостережень за стоком.

В табл.1 середні річні витрати Q_i необхідно розташувати за зменшенням, причому якщо за період спостережень було два або більше однакових витрат, то вони повторюються так, що число n залишається однаковим для хронологічного ряду і ряду, розташованому в спадаючому порядку.

б) В практиці гідрологічних розрахунків визначення коефіцієнту мінливості (варіації) при наявності досить довгих рядів спостережень можливо зробити двома шляхами: методом моментів або методом найбільшої правдоподібності.

Метод моментів для визначення коефіцієнтів мінливості і асиметрії стосовно до біномінального закону розподілу аналітичної кривої забезпеченості рекомендовано застосовувати при С_V ≤ 0, 5 і за відсутністю значно відхилених точок від осереднених емпіричних кривих у верхній її частині.

Коефіцієнт мінливості (варіації ) - це безрозмірний статистичний параметр, що відображає відхилення величини витрат від середнього значення за часом. Ця величина насамперед залежить від сталості клімату території та підвищується від його посушливості.

, (4)

де: К_і - модульний коефіцієнт стоку кожного року;

n - кількість років спостережень.

При n < 30 формула (4) використовується у вигляді:

, (5)

Для обчислення С_v необхідно обчислити модульний коефіцієнт К: відношення стоку даного року (Q_i) до його середньорічного значення Q_o

, (6)

Модульний коефіцієнт характеризує водність даного року. Так, роки з модульним коефіцієнтом понад 1, 0 - багатоводні, а менш 1, 0 -маловодні. Сума модульних коефіцієнтів за певну кількість років має дорівнювати числу років (табл.1).

Величини К-1 дають відхилення модульного коефіцієнту даного року від середнього модульного коефіцієнту К=1. Контроль за вірністю обчислення К-1 полягає в тому, що величина S(К-1) має бути рівною або близькою до нуля (табл. 1).

Виконуючи подальші обчислення S(К-1)² та S(К-1)³, можемо розрахувати коефіцієнт варіації та коефіцієнт асиметрії.

При обчисленні коефіцієнта мінливості С_V за методом моментів відносна середня квадратична похибка розраховується за формулою:

ε , (7)

Якщо похибка ε С_v ≤ 10 - 15%, то довжина ряду вважається достатньою. Для визначення середньої квадратичної похибки можна використовувати і табл.2.

в) Коефіцієнт асиметрії С_s - безрозмірний статистичний параметр, який характеризує ступінь несиметричності ряду відносно середнього значення. Якщо коефіцієнт асиметрії є додатне число, то за ряд спостережень частіше зустрічалися роки зі значенням стоку вище середнього.

Таблиця 2

Середньоквадратичні похибки, %

Коефіцієнт асиметрії визначається шляхом підбору (за умов найкращої відповідності аналітичної та емпіричної кривих забезпеченостей) з послідуючою перевіркою отриманого для даної річки співвідношення С_s / С_v по річках-аналогах. Як показали гідрологічні розрахунки річкового стоку, співвідношення С_s та С_v коливаються в межах, які наведені в табл. 3.

Таблиця З

Межі співвідношення С_sта С_v при розрахунках річкового стоку

Коефіцієнт асиметрії визначається за формулою:

, (8)

Відносна середня квадратична похибка коефіцієнта асиметрії при асиметричному розташуванні ряду розраховується за формулою:

, (9)

Якщо похибка обчислення коефіцієнта С_s велика, то для вибору розрахункової аналітичної кривої забезпеченості застосовуємо метод підбору.

3. Обчислення ординат аналітичної кривої забепеченості за методом моментів проводиться за обчисленими значеннями С_s та С_s = 2С_v в наступному порядку.

За обрахованими значеннями С_s визначають нормованні відхилення від середнього значення ординат біномінальної кривої забезпеченості за різною забезпеченістю і заносять до табл.4.

Таблиця 4

Забезпечені витрати води

Значення цих ординат позначають літерою Ф. Якщо значення С_s не співпадають зі значеннями С_s в першій графі табл.4, то величину Ф необхідно знаходити інтерполюванням.

Величини ФС_v - це відхилення ординат кривої забезпеченості від середнього значення ряду. Щоб отримати ординати кривої забезпеченості К_р, необхідно до значення ФС_v додати одиницю К_р=ФСv+1, тому що середнє значення модульного коефіцієнту К= 1, 0. Ординатами кривої забезпеченості можуть бути витрати різної забезпеченості, які визначаються за формулою:

Q_р= К_рQ_o, (10)

де: Q_o - норма стоку.

В табл. 4 ордината забезпеченості К_р за співвідношенням С_s=2С_v визначається за таблицями додатку 2, використання яких не потребує пояснення, а також визначається Q_р за формулою 10.

4. Побудова аналітичних кривих забезпеченості річних витрат води при С_s (ваше значення) і С_s=2С_v виконують на клітчатці з помірною асиметричністю. Криві можуть бути побудовані за ординатами К_р та Q_р.

Після проведення кривих необхідно проаналізувати, яка із аналітичних кривих найбільш відповідає розташуванню емпіричних точок.

Якщо загальний напрямок емпіричних точок не співпадає з аналітичними кривими, необхідно перевірити обчислення методом підбору співвідношення С_s та С_v, змінити величину параметра С_s і побудувати нову аналітичну криву забезпеченості.

Повторюваність гідрологічної величини, наприклад, річного стоку, називається кількісь років N, на протязі яких річний стік повторюється в середньому один раз. На клітчатці ймовірності верхня горизонтальна шкала має підпис: «Період повторення N років», а шкала має розграфлення: в центрі клітчатки 2, а потім вліво та вправо до 10000. Як бачимо, верхня та нижня шкали пов'язані між собою наступними співвідношеннями:

а) при забезпеченості Р ≤ 50 %

, (11)

б) при забезпеченості Р ≥ 50 %

, (12)

Повторюваність при забезпеченості: Р = 75 %, , тобто 1 раз за 4 роки; P = 90 %, , тобто 1 раз за 10 років; Р = 99, 9 %, , тобто раз за 1000 років.

Практичну роботу можна виконати за допомогою комп'ютера

Порядок виконання

1. Обчислити середню багаторічну витрату води.

- Відкрити програму Microsoft Exсel і створити таблицю;

- Ввести значення середньорічних витрат води в чарунки С2 – С18;

- Потім визначити середню багаторічну витрату води, вводячи в чарунку C19 формулу: СР ЗНАЧ (C2 - C18) ОК. Значення середньої багаторічної витрати води занести в усі чарунки за адресою D (D2 – D18).

- Далі упорядкувати значення середньорічних витрат води за зменшенням. Для цього потрібно ввести значення середньої багаторічної витрати води в усі чарунки за адресою Е (Е2 – Е18) і натиснути команду «Сортування за зменшенням»

2. Обчислити модульні коефіцієнти за кожний рік - ввести в чарунку F за формулою: = С2: D2. Потім необхідно скопіювати формулу для модульних коефіцієнтів.

Сума модульних коефіцієнтів за певну кількість років має дорівнювати кількості років. Для визначення суми модульних коефіцієнтів введіть в чарунку F 19 формулу: СУМ (F2 - F18) ОК.

- Далі визначаємо відхилення модульного коефіцієнту даного року від середнього модульного коефіцієнту. Для цього вводимо в чарунку G2 формулу: = F2 – 1 і копіюємо формулу для кожної чарунки.

- Для того щоб порахувати значення (K-1)², вводимо в чарунку Н2 формулу: =G2^2 ОК, і копіюємо введену формулу розрахунків для всіх чарунків Н (Н2 - Н18). Для визначення суми введіть в чарунку Н19 формулу: СУМ (Н2 - Н18) ОК.

- Далі визначаємо значення (K-1)³, вводимо в чарунку J2 формулу: =G2^3 ОК, і робимо аналогічні розрахунки для всіх чарунків J (J2 _ J18). Для визначення суми введіть в чарунку J19 формулу: СУМ (J2 - J18) ОК.

3. Для о бчислення забезпеченості (Р %) у відсотках, необхідно ввести в чарунку К формулу: = (A2-0, 3)/(17+0, 4)*100 ОК. Потім необхідно скопіювати формулу, або визначити для кожного показника.

Побудувати криві забезпеченості можна за допомогою програми StokStat. Для цього потрібно:

1. Відкрити програму StokStat

2. Вибрити меню «графіка», потім підменю «крива забезпеченості»

3. Далі потрібно вибрати меню «параметри» і встановити необхідні налаштунки та підписати криву забезпеченості. Потім вибираємо меню «шкала» і вводимо максимальне та мінімальне значення середньорічних витрат води (або модулів стоку).

Після того, як всі параметри встановлено потрібно вибрати меню «ряд даних», встановити галочку в меню «вести ряд» і внести дані середньорічних витрат води (або модулів стоку).

4. Після цього вибираємо меню «Крива» і ставимо галочку «згладжуюча». Після цього натиснути клавішу «ОК» і ми отримаємо графік кривої забезпеченості.