Поток энергии электромагнитного поля

Объемная плотность энергии электромагнитного поля определяется по формуле

(1)

Рассмотрим распространение энергии электромагнитного поля в среде с параметрами e, m, l, которые не зависят от времени.

Дифференцируя соотношение (1), находим

(2)

Подставим в правую часть (2) выражения для производных по времени из уравнений Максвелла. Получим

(3)

При записи выражения в правой части (3) была использована формула векторного анализа для дивергенции векторного произведения двух векторов.

Проинтегрируем полученное выражение (3) по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S. Используя теорему Гаусса-Остроградского, находим

(4)

В формуле (4) –энергия электромагнитного поля в объеме V.

Далее используем закон Ома в дифференциальной форме

j =l(E + E _стор). (5)

Из формулы (5) выражаем величину E через j и напряженность поля сторонних электродвижущих сил E _стор. Имеем

(6)

Введем обозначение

(7)

Вектор S называется вектором Умова-Пойнтинга (или вектором Пойнтинга). Подставляя (6) в (4) и используя (3), определяем

(8)

В формуле (8) величина

(9)

равна работе сторонних электродвижущих сил над токами проводимости в единицу времени, а величина

(10)

равна джоулеву теплу, выделяемому токами проводимости в единицу времени. Последнее слагаемое представляет собой поток энергии через поверхность S, то есть электромагнитная энергия вытекает через поверхность S наружу в количестве за секунду (или втекает внутрь объема V, если отрицателен).

Итак, уравнение (8) представляет собой уравнение баланса энергии электромагнитного поля. При этом вектор Умова–Пойнтинга можно истолковать как вектор плотности потока энергии электромагнитного поля (такая трактовка вектора S непосредственно подтверждается при рассмотрении электромагнитного поля с позиций теории относительности).

Отметим, что сторонние электродвижущие силы не совершают работы над токами смещения, так как в выражение для P входит только плотность токов проводимости.