Примеры решения задач. 1. Определить потенциалы электромагнитного поля, создаваемого точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории r=r0(t).

1. Определить потенциалы электромагнитного поля, создаваемого точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории r=r ₀(t).

Решение. Запаздывающий скалярный потенциал определяется по формуле (5.21)

(1)

В правое выражение (1) введена «лишняя» d-функция, чтобы избавиться от неявного аргумента в выражении для плотности заряда. Очевидно

(2)

Подставим (2) в (1) и произведем интегрирование по dV ¢. Наличие в подынтегральном выражении d-функции (2) обусловливает следующий результат интегрирования:

(3)

Далее воспользуемся известным свойством d-функции

(4)

Формула (4) справедлива при условии, если функция F (t) имеет единственный простой корень t₁. В нашем случае момент времени t₁ определяется из формулы

(5)

Кроме того, в нашем случае

  при t=t₁. (6)

Далее имеем

(7)

Итак, выражение для производной принимает вид

  при t=t₁. (8)