Метод ветвей и границ. Решение коммивояжера

Метод вариаций используется в задачах, где можно произвести полный анализ задач, т.е. полный перебор вариантов. Если такое невозможно, то используются методы неполного перебора, напр. Метод ветвей и границ:

Нужно найти х_{0 .} Число С_n – граница множества М, если .

Алгоритм:

6. Мн-во М разбиваем на не пересекаемые подмн-ва:

7. На каждом подмн-ве находим границу. С_n^* – точная граница, если

8. Если есть точные границы у подмн-в, то находим самую наименьшую из них. Т.е. подмн-ва, у которых границы C_i > C_n исключаем из рассмотрения.

9. Если все подмн-ва исключены, то останавливаем алгоритм.

10. Если существует мн-во, у которого С_i^*< С_n, то данное подмн-во снова разбиваем и переходим к п.2.

Для реализации алгоритма используется схема:

Задача Коммивояжера:

Пусть имеется n- населённых пунктов, соединенных дорогами. Расстояние между пунктами заданы матрицей:

Если между пунктами и нет соед. их дороги, то .

Требуется составить маршрут проход. через все пункты ровно по одному разу с возвратом в исходную точку, имеющую минимально возможную длину.

Для использования метода ветвей и границ выберем след. способ ветвления: будем выбирать одну из дорог к одному из подмн-в отнесем все маршруты, проход. через данную дорогу, а в другом маршруте все дороги не использующие ее.

В первом случае, удаляем из матрицы строку и столбец соответственно выбранной дороге. После чего, остальные звенья маршрута будем искать по оставшимся элементам матрицы.

Во втором случае, данное значение коэффициента матрицы .

Точную границу будем определять след. образом:

1. Находим минимум в каждой строке.

2. Находим минимум по каждому столбцу.

Тогда начальная оценка.