Вопрос 24. Интегрирование квадратичных иррациональностей: Тригонометрические и гиперболические подстановки

вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня .

Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Выполнив замену , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:

Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.

1. Интегралы вида

Тригонометрическая подстановка:

2. Интегралы вида

Тригонометрическая подстановка:

Гиперболическая подстановка:

3. Интегралы вида

Тригонометрическая подстановка:

Гиперболическая подстановка:

Примечания:

· Вместо тригонометрических подстановок в случаях 1, 2, 3 можно использовать, соответственно, подстановки x = r cos t, x = r ctg t, x = r cosec t.

· В приведенных выше формулах рассматриваются только положительные значения квадратного корня. Например, в строгой записи

Мы полагаем, что .