Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
|
Вопрос 36. интеграл с переменным верхним пределом как первообразная подынтегральной функции. Формула Ньютона–Лейбница
⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Если в определенном интеграле  изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.
Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x:  .
Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: 
Доказательство. По определению производной
 где   [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=   [по теореме о среднем]=  где 
Тогда  следует из определения непрерывной функции, т.к. при   . Таким образом, 
Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом  является первообразной для функции  .
| ||
| Формула Ньютона–Лейбница | ||
Теорема. Если  – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то 
Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но  – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:
Это равенство справедливо для любых При вычислении определенных интегралов будем записывать: |
. Положим 
: 
Но 
, поэтому 
, 
. Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим 
Переобозначив переменную интегрирования 
Данная страница нарушает авторские права?