Задание № 1

1. Даны точки А(-2; 3; -4), В(3; 2; 5), С(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить .

2. Даны точки М(-5; 7; -6) и N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

3. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

4. Даны векторы и . Вычислить .

5. Даны векторы и . Вычислить .

6. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

7. Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями OX, OY углы , , а с осью OZ – тупой угол .

8. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями OX, OZ углы , . А осью OY – острый угол .

9. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

10. Даны векторы и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .

11. Даны векторы и . Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси ОZ и удовлетворяет условиям , .

12. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию .

13. Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты, зная, что .

14. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

15. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью OZ. Зная, что , найти его координаты.

16. Вектор перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию . Найти координаты .

17. Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами и , удовлетворяющими системе уравнений .

18. Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные , зная, что , , , вычислить .

19. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и если известно, что , и .

20. Проверить, являются ли точки A(-1; 2; 3), B(2; -1; 1), C(1; -3; 1) и D(-5; 3; 3) вершинами трапеции.

21. Определить при каком значении α векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , , .

22.. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами острые углы, если .

23. Найти угол, образованный единичными векторами и , если известно, что векторы и перпендикулярны.

24. , . Определить при каком значении векторы и будут перпендикулярны.

25. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3; 5; 6), В(1; -5; 7), С(8; -3; -1) и D(4; 7; -2) – квадрат.

26. Найти длины сторон и величину угла треугольника с вершинами А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0), и С(3; -2; 1) при вершине С.

27. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А(-1; 2; 0) в положение В(2; 1; 3).

28. Зная, что , , и , вычислить .

29. , , . Найти .

30. Найти cos между диагоналями АС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины А(2; 1; 3), В(5; 2; -1), и С(-3; 3; -3).

З адание № 2

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) длину и уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) площадь треугольника АВС; 5) угол между сторонами ВА и ВС; 6) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В; 7) составить уравнение медианы, проведенной из вершины С; 8) точку пересечения его медианы, проведенной из вершины С и высоты, проведенной из вершины А; 9) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2: 3, считая от точки А; 10) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно стороне ВС. Координаты вершин треугольника даны в таблице.

З адание № 3

1.Даны две смежные вершины А(-3; 1) и В(2; 2) параллелограмма АВСD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

2. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х-у-1=0, х-2у=0 и точка пересечения его диагоналей О(3; -1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

3. Какой угол образует с осью Ох прямая, проходящая через точку D(1; 3) и точку пересечения медиан треугольника с вершинами А(-1; 4), В(2; 3), С(5; 8)?

4. Известны вершины треугольника А(-4; -2), В(0; 1), С(2; -1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.

5. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба:

х+2у-4=0, х+2у-10=0 и уравнение одной из его диагоналей х-у+2=0. Найти координаты вершин ромба.

6. Дан треугольник с вершинами в точках А(1; -2), В(0; 5), С(-6; 5). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

7. Составить уравнение прямой, симметричной прямой х+2у-6=0 относительно точки А(4; 2).

8. Две смежные вершины квадрата имеют координаты (1; 4) и (4; 5). Найти координаты двух других вершин.

9. При каком значении прямая х+у- =0 касается окружности ?

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) на расстоянии 2 единиц от точки В(0; -1).

11. На прямой х-3у+8=0 найти координаты точки, равноудаленной от двух точек (5; 4) и (-3; 2).

12. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки

А(-1; 2) на прямую 3х-5у-21=0.

13. Дан треугольник с вершинами в точках А(2; 5), В(5; -1), С(8; 3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х+у+4=0.

14. Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

15. Дан четырехугольник ABCD с вершинами А(3; 5), В(6; 6), С(5; 3), D(1; 1). Найти: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) угол между диагоналями.

16. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек А и В постоянно и равно 2.

17. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми х-у+12=0, 2х+у+9=0 образует треугольник с площадью, равной 1, 5.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми х+2у+1=0 и х+2у-1=0, равна 5.

19. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2.

20. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+7у-8=0, 3х+2у+5=0 под углом к прямой 2х+3у-7=0.

22. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11х+3у-7=0, 12х+у-19=0 на одинаковых расстояниях от точек А(3; -2) и В(-1; 6).

23. Найти проекцию точки Р(-8; 12) на прямую, проходящую через точки А(2; -3) и В(-5; 1).

24. Найти точку М, симметричную точке Р(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4) и В(-1; -2).

25. Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х-у+8=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

26. Даны две противоположные вершины квадрата А(-1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон.

27. Луч света направлен по прямой х-2у+5=0. Дойдя до прямой 3х-2у+7=0, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

28. Даны две вершины треугольника А(-10; 2) и В(6; 4); его высоты пересекаются в точке Р(5; 2). Определить координаты третьей вершины.

29. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х-у+5=0 и 2х-у+10=0, равна .

30. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух прямых 3х-у+7=0 и 3х-у-3=0.