Применение формулы Грина

Задача 1.

Применяя формулу Грина, вычислить следующий криволинейный интеграл:

где С – пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область D = {(x, y) 0< x < π, 0< y < sin x. }

Решение:

По формуле Грина, имею:

Задача 2.

На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы

где AmB – отрезок прямой, соединяющий точки А =(1, 1) и В =(2, 6), AnB – дуга параболы с вертикальной осью, проходящей через те же точки А, В и начало координат?

Решение:

Уравнение параболы, проходящей через начало координат и точки А, В, имеет вид а разность I₂ ̴ I₁ является криволинейным интегралом по замкнутому контуру AnBmA, ограничивающему область и пробегаемому в положительном направлении, в силу чего можем применить формулу Грина:

Следовательно, I₁ – I₂=2.

Задача 3.

Вычислить криволинейный интеграл

где AmO – верхняя полуокружность, заданная уравнением x2+y2=ax, пробегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).

Решение:

На сегменте [0, а] подынтегральное выражение равно нулю, поэтому интеграл кривой AmO равен интегралу по замкнутому контуру AmOА, состоящему из кривой AmO и сегмента [0, а], ограничивающему область D =

в силу чего могу применить формулу Грина:

Задача 4.

Вычислить криволинейный интеграл

где φ (у) и φ ́ (у) – непрерывные функции и AmB – произвольный путь, соединяющий точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂), но ограничивающий вместе с отрезком АВ площадь AmBA фигуру D, площадь которой равна данной величине Р.

Решение:

Интеграл по кривой AmB представлю в виде суммы интегралов по замкнутому контуру AmBA и по отрезку АВ.

Интеграл I₁ вычислим, применив формулу Грина:

Для вычисления интеграла I₂ преобразуем подынтегральное выражение к виду

где du – полный дифференциал некоторой функции. Следовательно,

где первый интеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А и В. Таким образом,

На отрезке АВ выполняется равенство

в силу чего имеем

Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдём:

Задача 5.

Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции так, чтобы криволинейный интеграл

для любого замкнутого контура γ не зависит от постоянных α и β.

Решение:

Если функции P и Q удовлетворяют поставленному условию, то должно выполнятся равенство

для любого замкнутого контура γ, в силу чего имеем

где

Для того, чтобы криволинейный интеграл I₁ по любому замкнутому контуру γ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром, и на самом контуре выполнялось равенство (которое следует из формулы Грина). Обозначив получим написанное условие в виде

откуда имеем равенство

Левая часть этого равенства не зависит от ζ и η, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно,

Из условия получаем равенство справедливо лишь в том случае, когда

дважды непрерывно дифференцируемые функции. Окончательно находим:

Задача 6.

Вычислить

где γ – простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.

Решение:

Если контур γ не окружает начало координат, то применив формулу Грина, получу:

Если контур γ окружает начало координат, то применять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна. В этом случае будем вычислять интеграл I непосредственно.

Обозначу через w дифференциальное выражение под знаком интеграла I. Покажем, что интеграл

не зависит от выбора кривой γ, окружающий начало координат.

Пусть γ ₁ и γ ₂ – произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие или кусочно-гладкие контуры, окружающие начало координат и ограничивающие простую область При положительной ориентации границы области D направления обхода кривых γ ₁ и γ ₂ будут противоположны

Двухсвязная простая область D не содержит особой точки подынтегрального выражения w, поэтому, согласно формуле Грина, имею:

откуда следует равенство

показывающее, что интеграл I не зависит от выбора замкнутой кривой γ, окружающей начало координат. Взяв окружность

получим:

Задача 7.

Найти с помощью формулы Грина площадь, ограниченную эллипсом

Решение:

Воспользуемся формулой (следствие из формулы Грина)

и стандартной параметризацией эллипса Г =

Задача 8.

Вычислить криволинейный интеграл

Где Г – верхняя полуокружность

Решение:

Обозначим дополним контур Г до замкнутого контура L отреком оси Ох, соединяющим концы полуокружности О(0, 0) и А(а, 0). Тогда

Задача 9.

Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность , обход которой производится против часовой стрелки.

Решение.

Запишем компоненты векторного поля и их производные:

Тогда

где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

Задача 10.

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс

Решение.

Применим формулу Грина

Очевидно, здесь

Следовательно,

Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

Задача 11.

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность .

Решение.

Компоненты векторного поля и их частные производные равны

Тогда по формуле Грина получаем

Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.

Здесь

Таким образом, интеграл равен

Заключение.

В данной курсовой работе я рассмотрела формулу Грина и смежные понятия, мною были подобраны и разобраны упражнения по данной теме. Подводя итог курсовой работы можно сказать, что поставленная цель достигнута.

При выполнении данной курсовой работы были решены, поставлены задачи и выполнено следующее:

1. Выполнен анализ литературы по теме исследования.

2. Выделены основные теоретические понятия, используемые в работе.

3. Изучены основные способы решения задач.

4. Подобраны и решены задачи по данной теме.

Список литературы:

1. Демидович Б.П. сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. – 13-е изд., испр. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, ЧеРо, 1997. – 624с.

2. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1966.

3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.

4. Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.

5. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

6. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 400 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.III. М., Наука, 1956.- 656 стр. с ил.