Методические рекомендации к решению типовых задач по теме. Время рассматривают как фактор, под влиянием которого увеличивается или уменьшается уровень динамического ряда:

Время рассматривают как фактор, под влиянием которого увеличивается или уменьшается уровень динамического ряда:

,

где t = 0, 1, 2.... n – значение переменной времени;

– теоретические уровни ряда, рассчитанные по уравнению тренда.

Студент должен усвоить способы и приемы выбора функционального вида тренда. В индивидуальном задании для самостоятельной работы, как правило, предусмотрено использование линейного тренда .

Параметры уравнения тренда рассчитывают по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид:

na + b å t = å у

а å t + b å t ² = å уt.

Если число уровней ряда динамики нечетное, то центральный уровень ряда принимают за базисный. Счет времени переносят в середину ряда: t срединное принимается равным 0; предшествующим срединному значениям присваиваются отрицательные ранги, а следующим за ним – положительные, тогда

å t = 0; ; .

Этапы аналитического выравнивания:

1. Построение эмпирического ряда динамики из фактических уровней .

2. Проверка ряда на наличие тенденции, например по критерию Кокса-Стюарта.

3. Выбор функционального вида тренда.

4. Расчет параметров трендового уравнения: а –?; b –?

Если значение переменной времени t обозначено порядковыми рангами, то

å t = (1 + n) n/2; å у = ;

å t ² = 1/12 n ( – 1) – если ранги времени центрируются и

å t ² = – если ранги времени порядковые;

å = .

Пример обозначения периодов времени: :

порядковыми рангами = 1, 2, 3, 4, 5

центрируемыми рангами = -2, -1, 0, 1, 2.

5. Проверка тесноты и существенности связи.

Для проверки тесноты связи, как правило, применяют теоретический коэффициент детерминации:

и теоретическое корреляционное отношение R = .

Для оценки существенности связи можно использовать таблицы критических значений коэффициента детерминации , или рассчитать F – критерий Фишера:

,

где – число степеней свободы для дисперсии теоретических значений

, где m число параметров в уравнении тренда (обычно m = 2, для параболы m = 3)

– число степеней свободы для остаточной дисперсии; ,

где n – число уровней ряда динамики.

Если > , то связь признается существенной.

6. Если связь вариации с переменной времени признана существенной, то тенденцию можно продлить за пределы эмпирического динамического ряда в будущее (экстраполировать тренд). Это делается с целью прогнозирования. При этом прогнозные значения получают из уравнения тренда, в котором принимают , где – период упреждения прогноза.

7. Качество прогноза оценивают по относительной ошибке аппроксимации, которая не должна превышать 15 %, в крайнем случае допустимым значением считается = 30 %

.

8. Доверительные пределы прогнозного интервала устанавливают с помощью среднеквадратической ошибки прогноза.

Студент должен уметь объяснить значение всех перечисленных показателей.

Пример. Известны условные данные об объемах экспорта из страны:

С помощью аналитического выравнивания определите экспортную возможность страны на 2007 г., вычислите критерий Фишера, относительную ошибку аппроксимации, предельную ошибку модели для уровня существенности a = 0, 05, сделайте выводы.

1. Проверяем динамический ряд на наличие тренда по критерию Кокса-Стюарта:

230; 238; 252; 245; 273; 269;

I треть ІІІ треть

273 > 230 «+» 2 «+»

269 > 238 «+» 0 «–»,

то есть наблюдается тенденция к росту ряда.

2. Обозначим фактор времени как «t» и ранжируем ряд от 1 до n: 1; 2; 3; 4; 5; 6.

3. Построим корреляционное поле:

Тенденция может быть аппроксимирована по прямой:

.

4. Вычислим параметры а и b из системы уравнений:

Вспомогательная таблица:

Время t	Экспорт, у	t 2	yt
				52 900	230, 2	0, 09	0, 04
				56 644	238, 6	0, 25	0, 36
				63 504	246, 9	2, 02	26, 01
				60 025	255, 3	4, 20	106, 09
				74 529	263, 7	3, 41	86, 49
				72 361	272, 1	1, 15	9, 61
				379 963	1 507, 0	11, 12	228, 60

–5 b = – 41, 9 b = 8, 38

а = 221, 8

.

Ежегодно оборот по экспорту в среднем растет на 8, 38 млн долл. США. А теоретические (по уравнению) объемы экспорта составляют:

= 221, 8 + 8, 38 · 1 = 230, 2 = 221, 8 + 8, 38 · 4 = 255, 3

= 221, 8 + 8, 38 · 2 = 238, 6 = 221, 8 + 8, 38 · 5 = 263, 7

= 221, 8 + 8, 38 · 3 = 246, 9 =221, 8 + 8, 38 · 6 = 272, 1

5. Для проверки существенности связи найдем теоретический коэффициент детерминации:

,

где – общая дисперсия экспорта:

– остаточная дисперсия экспорта:

Это значит, что на 84, 3 % объемы экспорта обусловлены трендом, который сложился в динамическом ряду.

F – критерий Фишера:

,

где n – число лет = 6;

m – число параметров линейного тренда (их 2: а и b).

.

Табличное, критическое значение F найдем в стандартной таблице по значениям (n – m) и (m – 1).