Кардано, ученый игрок

В главе 1 говорилось, что средневековые мыслители подошли к так называемому априорному (классическому) пониманию вероятности, описывая число способов, какими достигается тот или иной исход. Гораздо большего успеха добился Джироламо Кардано, один из " титанов Возрождения", давший в середине XVI века науке о вероятностях главные идеи. Он наиболее известен изобретением карданного шарнира для морского компаса (сходный работает в автомобиле) и формулой корней кубического уравнения, сам же себя он считал прежде всего врачом. В старости он больше всего говорил о болезнях и ценил свои знаменитые рецепты, но в молодости он был страстный игрок.

Около 1564 г. Карданонаписал небольшую книжку " Liber de ludo aleae" (это заглавие можно перевести двояко: или " Книга о том, как играть в кости", или " Книга о случайных играх"). Хотя основная ее часть посвящена описанию самих игр (не только в кости), разоблачению способов мошенничества и рассуждениям о судьбе, но ее можно назвать также первым трудом по ТВ. Она ждала публикации сто лет, однако по-видимому современники знали ее содержание [Hacking, 1975, c. 54; Hald, 1990, c. 41]. Латинский подлинник опубликован в книге [Cardano, 1663] на c. 262-276 in folio, а английский перевод – в книге [Ore, 1953], где переводчик (Сидней Гулд) местами излишне модернизировал старинный текст.

Кардановпервые сопоставил то, что мы теперь называем априорной вероятностью, с тем, что мы называем статистической вероятностью. Он настолько уверенно рассуждал на эти темы, что Гулдто и дело использовал, переводя его книгу, слово probability, прямого эквивалента которому у Карданонет. Его прозрения, порой блестящие, не следует модернизировать еще в одном плане: он не выходил за рамки азартных игр, он рассматривал не случайные явления вообще, а исходы в играх, и ныне не вполне ясно, искал ли он законы природы или магические формулы (вроде " тройка, семерка, туз" – у Пушкинав " Пиковой даме"). Во всяком случае, он вряд ли проводил между ними сознательное различие.

Столь же неясно, различал ли он хоть в какой-то мере априорную и статистическую вероятности, но историю обоих понятий нельзя понять без обращения к его трактату.

Но вот что несомненно: Карданодействительно первым понял, что надо не только вычислять шансы, но и много раз бросать кости. Именно из этого родилась впоследствии наша идеология – что в играх, кроме комбинаторики, нужна еще и статистика, т.е. подсчет реальных исходов. И он вовсе не ошибался, когда приходил к выводам, которые для нас нелепы – он просто исходил из иной картины мира. Об этом см. главу 5.

Он уточнил мысль о частотах: не надо думать, что, бросая кости много раз, мы получим точно требуемое число очков, " но при бесконечном числе бросаний это должно случиться почти обязательно, ибо в большом числе повторений проявляется течение времени, которое указывает все формы (in infinito tamen numero jactum id contingere proxime necesse est, magnitudo enim circuitus, est temporis longitudo quae omnes formas ostendit)" [Ore, 1953, c. 204] ([Cardano, 1663, стл. 267л]).

Эта загадочная фраза достойна комментария. Подробно это сделано в работе [Чайковский, 1989], и здесь надо добавить немногое. Фраза – первый известный серьезный подход к основному положению ТВ – закону больших чисел. Суть закона состоит в том, что многообразие случайных значений можно при определенных условиях заменить на их среднюю величину. Этим законом мы займемся в главе 3.

Здесь же нам важен тезис Карданоо " всех формах" (обсуждаемый историками как whole circuit [Hacking, 1975, c. 54; Brakel, 1976, c. 129; Hald, 1990, c. 38]) – он, по-моему, говорит об уверенности автора в том, что равновозможные варианты рано или поздно будут все исчерпаны, и что (надо полагать) всё начнется заново.

В 1539 г. Карданоопубликовал свое решение задачи о разделе ставки, основанное на той мысли, что существенно не число одержанных данным игроком побед, а число побед, недостающее ему до выигрыша всего банка. Его доводы нынешний историк полагает невразумительными, однако признаёт, что они впервые носили вероятностный характер и что Кардано" видимо попросту использовал симметрию между игроками" [Hald, 1990, c. 36]. Именно замена идеи предрасположенности идеей симметрии и представляется мне исходной в становлении идеологии ТВ.

Логик и методолог Иан Хакингувидал у Карданопервую частотную концепцию вероятности [Hacking, 1975, c. 53-54]. Историк статистики Андерс Хальд, наоборот, писал: " Странно, что Кардано, столь же практик, сколь и математик, не привел в " De ludo aleae" никаких опытных данных и даже ни одной относительной частоты" и объяснил это тем, что Кардано, как и последующие ученые, " считал теорию вероятностей математической дисциплиной, основанной на аксиомах" [Hald, 1990, c. 40]. Оба в какой-то мере правы – хотя прямых статистических данных в книге нет, статистический дух ее пронизывает, а ключевые аксиомы, пусть и неявно, тоже присутствуют. Но главная заслуга Кардано, по-моему, упущена.

Позже и по иному поводу Хакингнаписал, что " по прошествии достаточно долгого времени и после изменения теории один из взглядов на мир может быть совершенно непонятен для более поздней эпохи" [Хакинг, 1998, c. 9]. По-моему, именно это мы и видим в приведенном выше противостоянии точек зрения – оба автора исходили из того, что титан Возрождения думал о том же, что они, только ошибался.

Поэтому анализу обычно подвергают лишь те места книги Кардано, где речь идет о привычном нам материале – частотах и шансах. (" Мы должны упомянуть лишь самые важные верные результаты и оставить без внимания многие неясные утверждения [Кардано] и ошибочные числовые примеры" [Hald, 1990, c. 38]). Но отбрасывание ошибок незаметно ведет к додумыванию за автора, к поиску у него наших взглядов, а при этом легко свести анализ мысли Карданок пародии.

Так, его биограф Ойстейн Оребыл уверен, что Карданооперировал с понятиями " вероятность" и " равные вероятности", но это основано лишь на модернизированном переводе Гулда. Например, там, где Карданописал (продолжая античную традицию равносилия, упомянутую в п. 1), что событие " может равным образом как произойти, так и не произойти" [Cardano, 1663, стл. 265л], в переводе читаем, что событие может " встретиться или нет с равной вероятностью" [Ore, 1953, c. 196]. Если поступать так, то легко найти у него и наши теоремы.

Например, отметив, что при игре в две кости существует 6 возможностей выпадения пары одинаковых очков (1 и 1, 2 и 2 и т.д.), что составляет 1/6 от общего числа (36) возможных здесь пар, Карданодобавил: "...При большом числе игр оказывается, что действительность весьма приближается к этому предположению". Тем самым, здесь использовано, хоть и не сформулировано, априорное понятие вероятности (6/36 = 1/6) выпадения одинаковых очков и отмечено, что близкое отношение можно получить, если бросать кости много раз. Из этого Оресделал странный вывод, что Карданофактически говорил, будто если вероятность есть р, то большое число повторений дает m = np [Ore, 1953, c. 170-171].

По-моему, Карданоговорил не это. Чтобы говорить о частотах и вероятностях, сперва надо принять точку зрения на ряд случайных испытаний как на естественный процесс, в котором что-то можно подсчитывать. Царил же тогда извечный взгляд на случайность как на знак судьбы или на вмешательство нечистой силы. Историк культуры Эдвард Тайлор(Tylor) отметил, что данный взгляд преобладал даже у образованных людей до середины XVII века; он привел, в частности, мнение Джереми Тэйлора(Taylor), королевского капеллана, который около 1660 года писал: " Богдозволил вмешиваться в азартные игры дьяволу, который делает из них всё дурное, что только может..." [Тайлор, 1989, c. 72]. Именно эту точку зрения по сути и опровергал веком ранее Кардано.

Особенно хорошо это у него видно в таких главах, как " Мошенничество", " Условия, при которых стоит играть", " Об одной ошибке...", " Об обманах...", " О характере игроков" и т.п. В частности, он заметил, что игральная кость с крупными выемками очков падает не вполне одинаково часто на каждую грань [Ore, 1953, c. 191]. Из таких замечаний видно – в игры играют реальные люди. Карданопервый писал, что численный расчет возможен только при " честных костях" – это было ново. Однако он же рассматривал резко асимметричную кость (астрагал) в качестве честной – это можно считать данью старине.

Через полвека после Кардано, в 1619 году, английский пуританский священник Томас Гетэкерв книге " О свойствах и употреблении жребиев" прямо отвергал ту точку зрения, что " расположение жребия исходит непосредственно от Бога" [Тайлор, 1989, c. 71]. Без такой черновой работы нескольких поколений мыслителей Паскалюпросто нечего было бы обсуждать с Ферма. И уже намного после них математики дошли до понятий, которые мы записываем в виде таких величин, как m = np.