Равновозможности и их исчерпание

Во Введении говорилось, что для применения ТВ необходима некая аксиома, связывающая понятие вероятности с реалиями мира. Первой такой аксиомой явилась старинная идея равновозможности: априорная вероятность, работающая в играх, определяется отношением числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов, а исходы мыслятся как равновозможные – даже там, где нет внешне заметной равновозможности. Эта идея фактически лежит в основе ТВ.

Выше приведена цитата из Бернулли: " Я предполагаю, что все случаи одинаково возможны... Иначе необходимо уравнять их и вместо каждого легче встречающегося случая считать столько других, насколько он легче имеет место, чем прочие". Именно данное понимание равновозможности позволило применить априорное понимание вероятности ко всем возможным случайным явлениям. Тем самым, мы подошли к самой сердцевине вероятностной проблематики.

Принято считать, что априорное понимание малополезно по двум причинам: во-первых, тут вероятность искомого события определяется через равные вероятности элементарных событий, т.е. налицо порочный круг, а во-вторых, нигде, кроме простейших примеров вроде салонных игр, равновозможностей не бывает. Венгерский математик Альфред Реньиписал: < < В действительности же недостаток этого определения состоит не в том, что ему свойствен порочный круг (как утверждают иногда и теперь), а в том, что оно не является определением. На вопрос, что такое вероятность, оно не отвечает, дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях (по современной терминологии, в случае " классических вероятностных полей")> > [Реньи, 1970, c. 81].

Не буду спорить, пока не выяснено, что такое " классическое вероятностное поле". Если оно относится только к азартным играм, то Реньиправ, но если нет – нет. Так вот, бернуллиева процедура уравнивания вводит " классическое вероятностное поле" в качестве универсального понятия, годного для любой вероятностной задачи.

Правильная кость падает на каждую грань с равной частотой, которую можно отождествить с вероятностью. Это пишут во всех учебниках, но можно пойти дальше: если кость несимметрична, ее можно заменить на симметричную, у которой число граней больше: если на разные грани кость падает с частотами p1, p2,..., pN, то надо привести эти дроби к общему знаменателю Q, изготовить симметричную Q-гранную кость (это может быть, например, длинная симметричная Q-гранная призма) и приписать каждый номер (от 1 до N) стольким граням, какова доля соответствующей грани исходной кости в величине Q. Новая симметричная кость будет демонстрировать номера 1, 2,..., N с теми же вероятностями, что и исходная кость. Это значит, что принцип равновозможности исходов работает далеко за пределами внешне симметричных генераторов случайности. См. Добавление 1.

2-6. Частота и вероятность – от Граунтак Мизесу

Паскальи Ферма, по-моему, не имели вероятностных интересов (хотя Хакингсчитал о Паскале иначе [Hacking, 1975, c. 23]) и, получив удовольствие от решения чисто комбинаторных игровых задач, больше к данной тематике не возвращались. Вскоре вероятностные идеи овладели людьми, которых, наоборот, вообще не занимали азартные игры, а вероятность была для них лишь одной из средних величин (средней частотой).

Люди давно обратили внимание: статистика благоприятных исходов вполне работает не только в азартных играх, но и во многих массовых процессах. Прежде всего это стало ясно из статистики населения.

Первый шаг к математике случайного в статистике сделал упомянутый выше Граунт– в 1662 г. он открыл, что в массовых единообразных записях смертности лондонских жителей имеет место устойчивость частот. Разумеется, сам по себе этот факт был давно известен (например, банкирам), но только Граунтсделал его достоянием науки и широкой публики. Этим он породил ТВ как основу статистики, но математическое осмысление феномена началось всерьез лишь через двести лет, когда появилось само понятие устойчивости частоты. См. об этом главу 4.

Граунтвычислил, что на 14 мальчиков в среднем рождается примерно 13 девочек, и придал этому факту особый смысл: Бог-де предусмотрел повышенную смертность мужчин в войнах, путешествиях, " от руки правосудия" и т.п. Он не был ни математиком, ни философом (" homme sans geometrie" [Gouraud, 1848, c. 16]), но тем не менее оказался одним из основателей ТВ. Дело в том, что известно два способа ее построения – когда первично понятие вероятности и когда первично понятие средней величины, а вероятность вводится как средняя частота [Уиттл, 1982]. В наше время общепринят первый способ, однако метод средних исторически старше, он идет от Христиана Гюйгенса.

Его книга " О расчете в азартных играх" (1657 г.) – первая специальная публикация по ТВ. В ней исходным является понятие среднего, и если бы наука пошла тогда за Гюйгенсом, то математика случайного называлась бы, вернее всего, не ТВ, а теорией средних, и трудности у нее сейчас были бы иные. Прежде всего, было бы общим местом то, что исходная для исследования случайности процедура (прямо вытекающая из идеи баланса) – усреднение, а вовсе не подсчет исходов и их комбинаций. Усреднительный подход к ТВ стал обычным только начиная с работ Чебышева[Колмогоров, 1956, c. 266; Ширяев, 1989, c. 13], но и после них роль средних была осознана преимущественно в связи с предельными теоремами, тогда как нас будут больше интересовать текущие значения величин (см. гл. 7). В этом отношении мы последуем за Гюйгенсоми Граунтом.

Граунтвычислил вероятность лишь однажды, как бы делая уступку обывателю. Я приводил это место в п. 1: " вероятность умереть" означала у него то, что ныне именуют статистической вероятностью.

Прочтя Граунта, Гюйгенсзанялся задачами, по форме игровыми, а по сути статистическими. Вот одна из них: " Мужчина 56 лет женится на женщине 16 лет, сколько времени они могут жить вместе, до смерти одного из них? Если мне обещали 100 франков в конце года, который проживут они оба, за сколько было бы справедливо выкупить это обязательство? " [Майстров, 1980, с. 73]. Под справедливой платой здесь понималось ожидаемое (среднее) значение, т.е. игровые задачи ставились там, где не видно равновозможных вариантов.

Решение Гюйгенсаосновано на составленной его братом таблице смертности, которая основывалась на данных Граунта. В таблице приводилось число переживших и умерших для каждого возраста по десятилетиям: 6, 16, 26 и т.д. до 86 лет (когда умер последний из выборки). Гюйгенсположил, что каждый член воображаемой супружеской пары каждые 10 лет играет в лотерею, билеты которой делятся на выигрышные и проигрышные соответственно упомянутой таблице [Hald, 1990, c. 108-110].

Так, в таблице значилось: в возрасте16 лет умерло 15 и пережило 40 лиц, поэтому в лотерее 16-летнему игроку полагается как бы тянуть билет из урны, в которой 40 выигрышных и 15 проигрышных билетов. По этому принципу Гюйгенсвычислил, что ожидаемая предстоящая жизнь двух супругов, вступивших в брак в 16 лет, равна 29, 22 лет. Хальдрезюмировал: " Это хороший пример раннего применения того фундаментального принципа, что ожидание ET может быть найдено как ожидание условного ожидания ET/Tx".

Для нашей же темы самое важное – понять, насколько мысли Гюйгенсаповлияли на современников. Его расчеты не были опубликованы, но, по словам Хальда, витали в воздухе. Хальдобратил внимание на то, что сам Гюйгенсне стал решать задачу для 56-летнего и 16-летней, тогда как Я. Бернулливскоре (1686 г.) решил именно ее. Из этого можно сделать вывод, что он мог знать о письме Гюйгенсабрату, где эта задача поставлена (письма ученых друг другу тогда ходили по рукам, выполняя роль научной периодики), и это нам еще понадобится (см. гл. 3).

Что касается прогресса понимания вероятности как частоты, то он начался лишь через полтораста лет после выхода " Ars conjectandi". Первым, кто стал анализировать частоты как таковые, был английский логик Джон Венн(1866 г.). В те годы английская наука была охвачена энтузиазмом освоения нового миропонимания – статистического, о чем у нас пойдет речь в главе 5. От старомодной статистики как способа суждения ученые быстро переходили к статистике как сути самих природных процессов, к статистике в смысле Максвеллаи Дарвина. Эту-то статистику Венни ввел в обиход вероятностных рассуждений.

Венну наука обязана четким пониманием роли и возможностей ТВ. Он первым осознал, что понятие вероятности относится не ко всякой повторяющейся случайности, а лишь к хорошо организованной. Он счел, что слова the randomness и at random, которые всегда фигурируют, когда речь идет о вероятности, описывают некую действующую силу (agency): " Эта сила предполагается фиксированной и детерминированной вне определенных рамок, внутри же них предполагается распределенной равномерно" [Venn, 1876, c. 64]. Что, например, значит " стрелять беспорядочно (at random)"? Задана ли при этом плоскость стрельбы или сектор? А если задан сектор, то равновозможны ли углы в его пределах? В науке, по Венну, понятие равномерного распределения дается через идеализацию понятия беспорядочности (randomness): например, говоря, что человек взял наугад книгу с полки, мы делаем весьма сомнительное допущение, что все углы были для его руки равноценны.

Здесь Веннсделал первую попытку преодолеть господствовавший до тех пор в обосновании ТВ прием, известный как принцип индифферентности Лапласа– он гласит, что при отсутствии каких-либо сведений о предпочтительности исходов, эти исходы надо полагать равновероятными. Принцип оказывается совершенно непригодным для использования [Кайберг, 1978, c. 47, 82]. Взамен этого принципа Венни призвал определять вероятности из опыта; более того, именно он положил считать вероятностью предел частоты в однородной бесконечной серии испытаний. Существует ли такой предел и каким математическим аппаратом его можно исследовать, было тогда неясно. Через полвека (1919 г.) призыв Веннаначал получать воплощение в работах немецкого математика и физика Рихарда Мизеса.

Нам теперь очевидно, что Мизесвел речь только об одной из форм вероятности – статистической (апостериорной), однако сам н простодушно заявил, что никакой другой вероятности, кроме предела частоты, быть не может. Этим он грубо смешал понятия, но все-таки именно он сделал первый серьезный шаг к пониманию вероятности через случайность, а не наоборот. Вот основные положения Мизеса.

< < 1. О вероятности можно говорить только в том случае, если налицо имеется твердо определенный и точно отграниченный коллектив.

2. Коллектив есть массовое или повторное явление, удовлетворяющее следующим двум требованиям: относительные частоты отдельных признаков должны обладать определенными предельными значениями, и эти последние должны оставаться неизменными, если отобрать часть элементов совокупности произвольным выбором нумеров.

3. Выполнение последнего требования мы называем также принципом иррегулярности или принципом невозможности системы игры.

4. Нечувствительное к выбору нумеров предельное значение относительной частоты, с которой появляется определенный признак, мы называем " вероятностью" появления этого признака в пределах рассматриваемого коллектива> > [Мизес, 1930, c. 37].

Легко видна ошибка: надо ограничить произвол в выборе номеров, дописав в конце тезиса 2 слова: " не зависящим от значения выбираемого символа" (иначе можно, например, выбрать последовательность из одних нулей). Из-за этой оплошности многие отказались от анализа схемы Мизеса, не заметив главного новшества – требования иррегулярности в качестве исходного свойства. (К сожалению, у математиков широко принято отказываться от обсуждения нежелательной темы, ссылаясь на любую встреченную ошибку, даже не имеющую отношения к сути дела.)

Такое отношение сохранилось поныне, и даже новейшее исследование его идей, вдумчивое и благожелательное, кончено цитатой из книги В.Н. Тутубалина, которая аттестовала вероятностную концепцию Мизесакак " мертвый язык" [Григорян, 1999, c. 219]. Не могу согласиться – Колмогоровне раз говорил, что многим обязан Мизесу. Именно идеи Мизесапривели Колмогоровак его обеим аксиоматикам, о чем у А.А. Григорянанет ни слова. С тем же правом можно назвать мертвым языком любую старую концепцию, которая подверглась изменениям.

До Мизесабыл известен, кроме принципа индифферентности, только один (да и то никем явно не сформулированный) прием обоснования ТВ – принцип исчерпания равновозможностей (см. выше), когда каждое возможное элементарное событие берется ровно один раз. Благодаря этому принципу, ТВ не столько решает проблему случайности, сколько обходит ее. Для тех, кого интересует природа случайности, именно такая ТВ (а вовсе не попытка Мизеса) является " мертвым языком".

Мизес впервые предложил конкретную альтернативу исчерпанию равновозможностей: положения 2 и 3 означали, что вводится конкретная аксиома, призванная " оживить" науку о случайном. Эту аксиому позже назвали аксиомой случайности (см. ниже, п. 9). Закончу цитатой из классического курса: Феллерписал про нерегулярность, из-за которой нельзя предсказать исход будущего испытания, как про " фундаментальное свойство случайности, которое присуще наглядному представлению о вероятности. Значение этого свойства усиленно подчеркивалось Мизесом " [Феллер, 1964, c. 209]. Поэтому к Мизесумы еще не раз обратимся.