Вероятность как мера

Как сказано во Введении, еще Ламбертотметил, что знаки (цифры) иррационального десятичного числа могут быть статистически независимы и служить аналогом серии бросаний симметричной десятигранной кости. Будем называть данное свойство чисел случайностью по Ламберту. Очевидно, что это – чисто математический феномен, не имеющий отношения к каким бы то ни было случайным испытаниям. От него тянется линия в ТВ, трактующая данную дисциплину как чисто математическую.

Долгое время считалось, что факт случайности следования цифр в иррациональном числе имеет место в силу какой-то несоизмеримости (стороны и диагонали квадрата, окружности и ее диаметра и т.д.), и только Борельзаметил, что цифры статистически независимы в почти всяком действительном числе [Borel, 1909], т.е. что случайность тут имеет общий характер. В главе 4 мы остановимся на смысле этой классической работы подробнее. А пока ограничимся замечанием, что этим он заложил основу понимания вероятности как меры. Наиболее простая мера – это обобщение понятия длины, и вероятность при этом понимается как суммарная длина тех кусочков единичного отрезка, попадание на которые считается благоприятным исходом.

Колмогоровв 1933 г. завершил усилия Бореляи его коллег, создав то, что известно как первая аксиоматика Колмогорова. Она явилась изящным обобщением бернуллиевой схемы на бесконечное число испытаний. А именно, исходом именуется здесь указание на определенную точку – точнее, на бесконечно малую часть единичного отрезка, а вероятностью события называется суммарная длина тех бесконечно малых частей, какие благоприятны для этого события. Подробнее см. рассказ о рулетке Пуанкареи мере в главах 4 и 6. Мера, а с тем и вероятность, существует не для всякой случайностной схемы – мы узнаем это в главе 7.

Данная аксиоматика (она излагается в любом учебнике ТВ) удобна для построения теории, но остается неясно, к каким явлениям полученная теория приложима. Этим вопросом мы займемся далее, здесь же надо отметить: приложимость очевидна лишь для вероятностей, определяемых априорно, поэтому то и дело совершаются попытки свести остальные понимания вероятности к априорному. Так, по Чендову[1974, c. 212], вероятность как степень возможности (модификация " степени достоверности" Бернулли) может быть выражена в терминах меры (впрочем, конкретно это им не показано). Наоборот, вероятности как степени уверенности или правдоподобности он в такой выразимости отказал, назвав их субъективным, т.е. " самым низшим пониманием вероятности" [Чендов, 1974, c. 192]. Для нашей темы тут важно одно – признание того, что различные понимания вероятности несводимы друг к другу и что теоретикомерное представление возможно не для всех пониманий вероятности.