Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Задание №7. Повторить эксперимент п.6 для задач с плохо обусловленной матрицей.
|
|
Повторить эксперимент п.6 для задач с плохо обусловленной матрицей.
Матрица 12 типа, 3 порядка; Тип возмущения P.
| kEpsA | kEpsB | Ст. число обусловл. | Ошибка решения | ErrEst (cond) | ErrEst ([P]) | ErrEst ([M]) |
| 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 | ||
| 103 | 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 | |
| 106 | 9.986*105 | 3.080*10-8 | 8.32*10-8 | 6.13*10-9 | 1.26*106 | |
| 109 | 9.986*105 | 3.293*10-8 | 3.57*10-7 | 1.19*10-8 | 1.26*106 | |
| 1012 | 9.986*105 | 3.617*10-8 | 6.16*10-8 | 1.30*10-7 | 1.26*106 | |
| 1015 | 9.986*105 | 3.381*10-5 | 3.04*10-7 | 7.21*10-5 | 1.26*106 | |
| 1018 | 1.128*106 | 1.087*10-1 | 5.12*10-7 | 1.34*10-1 | 1.26*106 | |
| 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 | ||
| 103 | 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 | |
| 106 | 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 | |
| 109 | 9.986*105 | 1.986*10-8 | 1.08*10-4 | 4.85*10-9 | 1.26*106 | |
| 1012 | 9.986*105 | 9.873*10-8 | 1.08*10-1 | 2.32*10-7 | 1.26*106 | |
| 1015 | 9.986*105 | 1.084*10-4 | 1.08*102 | 2.17*10-4 | 1.26*106 | |
| 1018 | 9.986*105 | 1.084*10-1 | 1.08*105 | 1.96*10-1 | 1.26*106 | |
| 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 | ||
| 103 | 103 | 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 |
| 106 | 106 | 9.986*105 | 3.021*10-8 | 3.02*10-7 | 5.62*10-9 | 1.26*106 |
| 109 | 109 | 9.986*105 | 2.591*10-8 | 1.08*10-4 | 5.50*10-9 | 1.26*106 |
| 1012 | 1012 | 9.986*105 | 1.356*10-7 | 1.08*10-1 | 3.86*10-7 | 1.26*106 |
| 1015 | 1015 | 9.986*105 | 1.445*10-4 | 1.08*102 | 3.15*10-4 | 1.26*106 |
| 1018 | 1018 | 1.070*106 | 1.129*10-1 | 1.08*105 | 3.06*10-1 | 1.26*106 |
Матрица 12 типа, 4 порядка; Тип возмущения P.
| kEpsA | kEpsB | Ст. число обусловл. | Ошибка решения | ErrEst (cond) | ErrEst ([P]) | ErrEst ([M]) |
| 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 | ||
| 103 | 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 | |
| 106 | 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.44*10-4 | 1.03*10-5 | 6.50*107 | |
| 109 | 1.488*109 | 3.265*10-5 | 1.93*10-4 | 4.04*10-6 | 6.50*107 | |
| 1012 | 1.488*109 | 4.293*10-5 | 1.03*10-4 | 6.70*10-6 | 6.50*107 | |
| 1015 | 1.488*109 | 4.579*10-5 | 2.09*10-4 | 1.31*10-4 | 6.50*107 | |
| 1018 | 1.605*109 | 6.833*10-2 | 2.43*10-4 | 1.15*10-1 | 6.50*107 | |
| 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 | ||
| 103 | 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 | |
| 106 | 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 | |
| 109 | 1.488*109 | 1.971*10-5 | 1.60*10-1 | 6.45*10-6 | 6.50*107 | |
| 1012 | 1.488*109 | 1.717*10-5 | 1.61*102 | 9.11*10-6 | 6.50*107 | |
| 1015 | 1.488*109 | 1.017*10-5 | 1.61*102 | 2.20*10-4 | 6.50*107 | |
| 1018 | 1.488*109 | 1.084*10-1 | 1.61*108 | 1.96*10-1 | 6.50*107 | |
| 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 | ||
| 103 | 103 | 1.488*109 | 1.579*10-5 | 5.40*10-4 | 1.04*10-5 | 6.50*107 |
| 106 | 106 | 1.488*109 | 1.614*10-5 | 5.74*10-4 | 9.85*10-6 | 6.50*107 |
| 109 | 109 | 1.488*109 | 4.314*10-5 | 1.61*10-1 | 4.36*10-6 | 6.50*107 |
| 1012 | 1012 | 1.488*109 | 2.076*10-5 | 1.61*102 | 3.89*10-6 | 6.50*107 |
| 1015 | 1015 | 1.488*109 | 1.331*10-4 | 1.61*105 | 3.04*10-4 | 6.50*107 |
| 1018 | 1018 | 1.527*109 | 2.346*10-1 | 1.66*108 | 3.52*10-1 | 6.50*107 |
Вывод: При внесении возмущения только kEpsB (или одновременно kEpsA и kEpsB) в плохо обусловленную матрицу, реальная ошибка и её оценка по числу обусловленности примерно равны при степени неопределённости исходных данных меньше, чем 109. При внесении только возмущения kEpsA реальная ошибка и её оценка по числу обусловленности примерно равны при неопределённости исходных данных меньше, чем 1015. Плохо обусловленная матрица менее подвержена возмущению, чем хорошо обусловленная.
Задание №8
Выполняя п. 6 и 7, исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.
Вывод: При внесении возмущения типа P в матрицу системы оценка ErrEst([P]) даёт точную оценку реальной ошибки (при любых возмущении), чем ErrEst([M]). ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях (103 - 106). При больших возмущениях ErrEst(cond) отличается от реальной ошибки на несколько порядков. ErrEst([M]) при любом возмущении P даёт оценку, не соответствующую реальной ошибке. Так как каждый из способов оценки ошибки решения лучше “работает” со своим типом возмущения.
Задание №9
Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.
| Тип | Обусловл. | Метод решения | Спектральный радиус | Количество итераций |
| 1.175*101 | Якоби | |||
| 1.175*101 | Гаусса-Зейделя | |||
| 1.307*101 | Якоби | 6.454*10-1 | ||
| 1.307*101 | Гаусса-Зейделя | 9.424*10-1 | ||
| 5.756*101 | Якоби | |||
| 5.756*101 | Гаусса-Зейделя | |||
| 1.191*107 | Якоби | 5.21 | - | |
| 1.191*107 | Гаусса-Зейделя | 2.58 | - |
Вывод: У хорошо обусловленных матриц количество итераций ограничено. А решение с плохо обусловленными матрицами не сходится. Теорема о сходимости стационарного метода выполняется: метод Якоби сходится тогда и только тогда, когда спектральный радиус меньше единицы. Чем больше спектральный радиус, тем меньше радиус сходимости.