Зміст навчального матеріалу з даної теми з виділенням основних вузлових питань.

Змінна величина Y називається функцією незалежної змінної величини X, званої аргументом, якщо кожному значенню змінної X по деякому закону поставлено у відповідність значення змінної Y.

Вказуючи, що Y є функцією аргументу X, застосовують один з таких записів

Y = f (X), Y = F (X), Y = Y (X).

Якщо замість незалежної змінної X використовуються значення функції X = g(t), то функція Y = f [ g(t) ] називається складеною або суперпозицією функцій.

Похідною функції Y = f (X) у точці X називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу пpямує до нуля.

Геометричний зміст похідної: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у даній точці дорівнює значенню її похідної у точці торкання.

Диференціалом dX незалежної змінної X називають її приріст.

Диференціал dY функції Y дорівнює

dY = (X) *dX.

Диференціал функції dY геометрично представляє собою відповідний значенню диференціала аргументу приріст ординати дотичної до графіка функції у даній точці.

Частинною похідною функції декількох змінних називають границю відношення частинного приросту функції до приросту відповідного аргументу, коли останній пpямує до нуля.

Частинні похідні функції U = f (X, Y) по X та Y позначають так

Повний диференціал dU цієї функції дорівнює

Градієнтом функції у точці М називається вектор

.

Частинні похідні у цій формулі обчислюють у точці М. Напрям градієнта збігається з напрямом найбільш різкого зростання цієї функції у точці М, а модуль характеризує швидкість цього зростання.

Правила обчислення похідних найпростіших елементарних функцій:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. .

Завдання для самостійної підготовки студентів.

8.1 Завдання для самостійного вивчення матеріалу з теми.

8.1.1. Практичне обчислення повних диференціалів

Диференціал функції однієї змінної, наприклад , вирахувати просто, якщо похідна вже відома, бо за означенням .

Отже для обчислення диференціала функції однієї змінної досить знайти похідну, а потім помножити її на диференціал аргументу dx.

Наприклад,

,

тоді

.

Проте, у випадку функції декількох змінних, наприклад,

розрахунки ускладнюються. Як вже вказувалось раніше, для функції декількох змінних треба знайти повний диференціал dU за формулою

.

В формулу входять частинні похідні по всім змінним, від яких залежить функція тобто

Частинні похідні обчислюють за тими же правилами, що і звичайні похідні, вважаючи всі змінні, окрім тієї, по якій шукається похідна, сталими.

Розглянемо приклад:

.

Бачимо, що залежить від двох змінних x та y. Отже, повний диференціал дорівнює

.

Таким чином, треба визначити частинні похідні та і підставити їх значення у формулу для повного диференціала .

Щоб вирахувати частинну похідну , треба поступити точно так якби у формулу для y замість входила якась постійна величина, наприклад 5 або 10, або будь-яке інше число. Згадайте, якщо

, то .

Тому

.

Точно так же частинна похідна

.

Підставляючи ці результати у формулу для повного диференціала, одержимо шукану відповідь

.

Запам'ятайте ці особливості обчислення частинних похідних і тоді визначення повного диференціала ускладнень не викличе.

Розглянемо приклад, визначимо повний диференціал функції

.

Бачимо, що залежить від двох змінних x та y. Отже, повний диференціал дорівнює

.

Таким чином, треба визначити частинні похідні та і підставити їх значення у формулу для повного диференціала du.

Обчислюючи частинні похідні, маємо

, .

Підставляючи ці результати у формулу для повного диференціала, одержимо шукану відповідь

.

Для того, щоб легко та безпомилково розв’язувати такі приклади, необхідно самостійно виконати завдання, рекомендовані для самостійної роботи.

8.1.2. Задачі для самостійного розв’язання

1. Радіоактивний препарат, що використовується для променевої терапії онкологiчних захворювань, розпадається за законом

,

де N - число цілих ядер у момент часу t, - початкове число радіоактивних ядер, l - стала радіоактивного розпаду, t - час.

Визначити активність радіоактивного препарату за формулою

.

2. Гранична крива сила струму - тривалість, що пов'язує амплітуду i електричного струму (звичайно прямокутного імпульсу), та його тривалість t, визначається формулою Вейса:

,

де a - коефіцієнт пропорційності, b - реобаза, тобто амплітуда імпульсу, що викликає збудження тільки при дуже великій тривалості імпульсу t ().

Визначити зменшення di амплітуди, відповідне збільшенню тривалості імпульсу на dt.

3. Для наближеного опису зв'язку між середньою тривалістю життя тварин T та дозою речовини D, шкідливо діючої на організм, Блюм та Дракли запропонували формулу

де C та n сталі, які мають бути визначеними за експериментальними даними. Знайти збільшення dT середньої тривалості життя при скороченні дози шкідливої речовини на dD.

4. При дії прискорень на рецептори вестибулярного аналізатора залежність між максимальним кутом a відхилення купули вертикального каналу від прискорення a має вигляд

.

де m - маса рецептора (купули); P - вага рецептора; G - пружна сила, що компенсує силу тяжіння, l, J та E - довжина, момент інерції та модуль пружності купули.

Вирахувати збільшення d, відповідне приросту прискорення da.

5, 6. Чутливість P різних біологічних систем печінки до впливу різних доз D гепатотропної отрути - чотирихлористого вуглецю згідно з експериментальними даними описується, зокрема, за формулами:

для ЛФ ,

для ЛАП ,

де ЛФ та ЛАП - активності лужної фосфатази та левцинаминопептидази.

Визначити зміну активності dP, що виникає при збільшенні дози чотирихлористого вуглецю на dD.

8.1.3. Контрольні запитання

1. Означення похідної та її практичне значення.

2. Означення диференціала аргументу та функції.

3. Геометричний зміст похідної та диференціала.

4. Похідні та диференціали елементарних функцій.

5. Похідні та диференціали алгебраїчної суми.

6. Похідні та диференціали добутку та частки.

7. Похідна та диференціал складеної функції.

8. Означення частинної похідної та її обчислення.

9. Повний диференціал та його обчислення.

10. Градієнт функції, його модуль та напрямок.

8.2 Основна література

1. Жуматій П.Г. “Математична обробка медико-біологічних даних. Задачі та приклади”. Одеса, 2009.

2. Жуматій П.Г. “Основи диференціального числення”. Одеса, 2009.

3. Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Елементи вищої математики. Методичні вказівки для студентів медичного інститута. Одеса, 1981.

4. Чалий О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медична і біологічна фізика. Київ, 2004.

8.3 Додаткова література

1. Ремізов О.M. Медична і біологічна фізика. М., “Вища школа”, 1999.

2. Ремізов О.M., Ісакова Н.Х., Максіна О.Г.. Збірка задач з медичної та біологічної фізики. М.,., “Вища школа”, 1987.

Завдання для виконання УДРС.

Студенти, які добре оволоділи навчальним матеріалом цієї теми можуть підвищити рівень своєї підготовки, вирішуючи задачі 1.23-1.26 із збірки задач О.М.Ремізова, Н.Х.Ісакової, О.Г.Максіної. Особливу користь принесе це під час підготовки до контрольної роботи.

Методичні вказівки склав доц. П.Г.Жуматій.