Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численное решения задачи о плоском изгибе и растяжении-сжатии прямого стержня.

Аналитические решения системы разрешающих уравнений (5.4) ограничены частными случаями, сводящимися к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Применение ЭВМ и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений позволяет решать задачу численно в самой общей постановке. Ниже приводится алгоритм интегрирования методом Эйлера в общедоступной среде Windows-Excel.

Представим систему (5.5) в дискретном виде с шагом интегрирования :

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

. (6)

 

Достаточная для технической теории стержней точность достигается при .

Организуем таблицу Excel в следующем виде.

 

  A B C D E F G H I J K L M N
  Исходные данные Вычисляемые параметры
  zi qzi Pzi qyi Pyi Li Fi Ji Ni wi Qi Mi φ i vi
                             
  ∆ z                          
                           
n (n-3)·∆ z                          
                           
  100·∆ z                          
                           
  l-∆ z                          
  l                          
                                                     

Таблицу «Исходные данные» заполняем по правилам Excel в соответствии с условиями задачи. Можно просто заполнить ячейки вручную или сформировать соответствующую функцию и «протянуть» ее до конца таблицы. Например: стержень до z=l/2 не нагружен поперечной нагрузкой, а при z> l/2 лежит на упругом основании жесткостью с (qy=-c·v). Записываем в ячейку D3 формулу: . Протягиваем содержимое ячейки D3 до конца таблицы. Столбец qyi заполнен.

Таблицу «Вычисляемые параметры заполняем в два приема.

Сначала заполняем строку 3 (z=0) начальных условий. Неизвестные начальные значения параметров вносим произвольно, например, принимаем равными единице. В таблице приведен пример заполнения для шарнирно неподвижной опоры на левом конце. Значения, подлежащие определению из граничных условий, выделены рамкой.

В ячейки строки 4 записываем формулы (1)…(6) и протягиваем до конца таблицы. Например:

в ячейку I4 записываем формулу: =I3-B3*∆ z-C3,

в ячейку M4 записываем формулу: =M3+∆ z*L3/(E*H3).

Константы с, ∆ z, Е записываются в виде конкретных чисел или ссылками на некоторые ячейки. Например, если значение модуля упругости Е занесено в ячейку O3, а ∆ z – в Р3, то последняя формула будет записана

=M3+$P$3*L3/($O$3*H3). Знак $ появляется автоматически после щелчка мышью на нужную ячейку и нажатия клавиши управления F4.

Для вычисления неизвестных начальных параметров используем процедуру «Поиск решения». Процедура вызывается нажатием кнопок «Сервис», «Поиск решения» и позволяет численно решить систему уравнений граничных условий, т.е. подбирать неизвестные начальные параметры из условий на правом конце стержня. Например, при шарнирно опертом левом и защемленном правом концах необходимо изменять значения в ячейках I3, K3, M3, добиваясь равенства нулю значений в ячейках J203, M203, N203 - перемещения и угол поворота на правом конце стержня.

Пример заполнения таблицы «Поиск решения» представлен на рисунке.

 

 

Одно из условий на правом конце формулируется как целевая ячейка, а остальные – как ограничения. После нажатия кнопки «Выполнить» решается поставленная задача и в изменяемых ячейках появляются значения, соответствующие заданным граничным условиям. Столбцы параметров заполнены искомыми значениями с шагом ∆ z.

Для анализа результатов целесообразно построить графики параметров. Для этого выделяем столбец z и столбец соответствующего параметра и используем процедуру «Мастер диаграмм».

Алгоритм реализуется при неоднородных граничных условиях и для стержневых систем. Рассмотрим примеры.

1. Стержень имеет одну или несколько промежуточных опор. Неизвестные реакции опор добавляем к внешним силам, а соответствующие ячейки - к изменяемым ячейкам. Также добавляем соответствующие ограничения. Теперь при выполнении процедуры «Поиск решения» дополнительно вычисляются реакции промежуточных опор, величины которых автоматически учитываются при определении внутренних сил и перемещений. Например, для учета промежуточной опоры в середине стержня дополнительно назначаем изменяемой ячейку $E$103 и добавляем в «Поиск решения» ограничение $N$103=0.

2. Промежуточная (или концевая) опора упругая податливостью δ.

В сравнении с предыдущим случаем изменяется добавляемое ограничение. В рассмотренном выше примере ограничение: $N$103=- δ *$E$103.

3. Ось стержня в конкретной точке изогнута под некоторым углом. Ограничимся рамами, т.е. изгибом под прямым углом. Пусть точка изгиба

расположена между точками n и n+1. Тогда в этих точках продольная сила переходит в поперечную силу, продольное перемещение в поперечное перемещение, углы поворота и моменты равны. В частности, при повороте по часовой стрелке получаем:

, , , , , .

В нашей таблице параметров Excel в строке n+1 изменяем только формулы в шести ячейках (например, n=90):

в ячейке I91 → = K90,

в ячейке J91 → = N90,

в ячейке K91 → =-I90,

в ячейке L91 → = L90,

в ячейке M91 → = M90,

в ячейке N91 → =-J90.

4. Определение критической силы или критической погонной нагрузки.

Величина сжимающей силы (Pz в стержне, Pz или Py в раме) или сжимающей погонной нагрузки (qz в стержне, qz или qy в раме) считаются изменяемым параметром, соответствующая ячейка – изменяемой ячейкой. Вводится дополнительное ограничение: значение одного из параметров в конкретной точке в k раз больше соответствующего значения при нулевой величине изменяемого параметра. Процедура «Поиск решения» дополнительно находит критическое значение нагрузки. Практически можно использовать значение k=25.

5. Определение допустимой нагрузки из условия прочности или жесткости.

Задача решается аналогично предыдущей. Ограничение формируется по гипотезе прочности или жесткости.

6. Подбор сечения.

Задача решается аналогично предыдущей. Изменяемые ячейки содержат параметры, определяющие размеры сечения.

Если необходимо добавить кручение стержня, то нужно просто добавить два столбца для крутящих нагрузок и два столбца вычисления . Добавляются соответствующие ограничения в «Поиск решения».

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | Определите, о каких исторических личностях идет речь. Заполните пропуски в тексте
Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал