Метод Эйлера для дифференциальных уравнений первого порядка.

Решим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: , .

Найдем аналитическое (точное) решение. Уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Действительно

,

,

,

Подставим начальное условие .

,

С = 0.

Таким образом, аналитическое (точное) решение имеет вид:

.

Решим это же уравнение методом Эйлера в MathCAD.

Правая часть уравнения равна

f (x, y): = xy.

Зададим границы изменения x:

x _min: = 0, x _max: = 1.

Зададим число точек и величину шага:

n: = 10, .

Зададим начальные условия:

y ₀: = 1, x ₀: = x _min.

Вычислим x и y по формулам Эйлера

j: = 1.. n

x_j: = x _min + jh

y_j: = y_{j -1} + f (x_{j -1}, y_{j -1}) h

Представим результат графически и сравним его с аналитическим решением.

Аналитическое решение: .

Построим графики решений.

z: = 0, 0.1..1

k: = 0.. n

Точное аналитическое решение и решение, полученное численно, отличаются в точке x = 1 на

y 1(1) – y_n = 0.102.

То есть относительная ошибка составляет

.