Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Решим это же уравнение методом Рунге-Кутты.
|
|
Для решения дифференциальных уравнений MathCAD имеет ряд встроенных функций, в частности, функцию rkfixed, реализующую метод Рунге–Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Функция
rkfixed(y, x 1, x 2, npoints, D)
возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые 
производные.
Аргументы функции:
· y – вектор начальных значений (n элементов).
· x 1 и x 2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения.
· npoints – число точек внутри интервала (x 1, x 2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк.
· D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.
Рассмотрим пример решения предыдущей задачи.
Правая часть уравнения равна
f (x, y): = xy.
Зададим начальные условия:
x min: = 0, y 0: = 1,
Зададим границы изменения x:
x max: = 1.
Зададим число точек и величину шага:
n: = 10, 
Находим решение по методу Рунге-Кутты:
y RK4: = rkfixed(y, x min, x max, n, f).
Выводим это решение на экран:
y RK4 =
| 0.1 | 1.00501 |
| 0.2 | 1.0202 |
| 0.3 | 1.04603 |
| 0.4 | 1.08329 |
| 0.5 | 1.13315 |
| 0.6 | 1.19722 |
| 0.7 | 1.27762 |
| 0.8 | 1.37713 |
| 0.9 | 1.4993 |
| 1.64872 |
Сравним с точным решением.
Y (x): = 
.
Сформируем таблицу значений точного решения.
i: = 0.. n
xi: = x min + ih
yi: = Y (xi)
Выводим таблицу значений точного решения.
y =
| 1.005013 |
| 1.020201 |
| 1.046028 |
| 1.083287 |
| 1.133148 |
| 1.197217 |
| 1.277621 |
| 1.377128 |
| 1.499303 |
| 1.648721 |
Точное аналитическое решение и решение, полученное численно отличаются в точке 
на 
. То есть относительная ошибка составляет
.
ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ
1. Что называется дифференциальным уравнением.
2. Что называется решением дифференциального уравнения.
3. Какие типы дифференциальных уравнений первого порядка существуют и как решаются.
4. Какие методы численного решения дифференциальных уравнений существуют и их реализация (описать алгоритм).
5. Какая функция в системе MathCAD позволяет решить дифференциальное уравнение.