Застосування інваріантів для побудови ліній другого порядку.

1. У попередніх лекціях ми мали можливість встановити, як властивості лінії другого порядку дозволяють виконати її зображення. Інший підхід при дослідженні загального рівняння полягав у тому, щоб розглядати лінію в іншій системі координат, одержаній із даної паралельним перенесенням в новий центр та наступним поворотом на певний кут. При вдалому виборі нової системи рівняння лінії можна було суттєво спростити. При цьому доводилось досліджувати питання про те, якими співвідношеннями пов’язані координати точки у початковій та кінцевій системах. Виявляється, що існують певні константи – деякі функції від коефіцієнтів рівняння, які не залежать від вибору системи координат та визначаються тільки властивостями ліній. Їх називають інваріантами рівняння лінії. Фактично ми вже мали можливість зустрітися з ними. Інваріантними (незмінними) є коефіцієнти біля старших членів рівняння при паралельному перенесенні системи координат. При повороті інваріантом рівняння є його вільний член. Розглянемо питання існування інших інваріантів, які в окремих випадках, як ми побачимо дальше, допомагають суттєво спростити дослідження властивостей ліній.

Розглянемо загальне рівняння лінії другого порядку

. (1)

Після застосування формул переходу до нової системи координат

, , (2)

які зв’язують координати точки у двох системах координат при паралельному перенесенні початкової системи в новий початок з наступним її поворотом на кут (див. п. 3 – 4 лекції 21), рівняння (1) запишеться у виді

. (3)

При цьому квадратична форма, яка визначається групою старших членів рівняння (1)

перейде у квадратичну форму

.

Оскільки при паралельному перенесенні старші коефіцієнти у рівнянні не змінюються, то вважатимемо, що виконується тільки поворот системи. Тоді пучок квадратичних форм

,

який залежить від параметра , перейде в пучок

.

Справді, вираз перейде у рівний йому вираз , оскільки обидва вони дорівнюють квадрату відстані від точки до початку координат, а при повороті відстань між точками не змінюється. Квадратична форма визначається матрицею

,

а квадратична форма - матрицею

.

В курсі лінійної алгебри доводиться той факт, що для матриць та квадратичної форми, яка розглядається у різних базисах, виконується рівність , де - матриця переходу від одного базису до іншого.

Оскільки при повороті системи координат на кут базисні вектори та зв’язані рівностями

,

то матриця переходу запишеться у виді

,

тому і .

Рівність

запишемо у розгорнутому виді

.

Одержана тотожність виконується для довільного , тому з неї випливають співвідношення

, .

Числа та , величина яких не залежить від вибору системи координат, очевидно, є шуканими інваріантами.

Для відшукання ще одного інваріанта у рівняннях (1) та (3) за допомогою співвідношень , , перейдемо до однорідних координат. Рівняння лінії набудуть виду

,

.

Оскільки ліві частини одержаних рівнянь тепер являють собою квадратичні форми, які визначаються матрицями

та

відповідно, то можна скористатися наведеними вище міркуваннями. Для цього запишемо формули (2) через однорідні координати у виді

,

,

.

Матриця переходу в даному випадку запишеться у виді

,

а її визначник, очевидно, рівний 1. Використавши рівність , дістаємо, що число

теж є інваріантом заданого рівняння.

Таким чином, числа та є інваріантами рівняння лінії, тобто не змінюються при перетворенні рівняння (1) за допомогою формул (2).

2. При побудові ліній другого порядку за допомогою інваріантів фактично доводиться розв’язувати дві основні задачі. Перша із них полягає у максимальному спрощенні рівняння лінії, зокрема у зведенні його до канонічного виду. Друга задача полягає у відшуканні нової системи координат, в якій лінія задається перетвореним спрощеним рівнянням. Очевидно, що розв’язання другої задачі полягає у знаходженні нового початку координат та кута повороту, при якому координатні осі набувають головних напрямків. Покажемо, як, користуючись інваріантами рівняння лінії, визначати кут повороту.

Нехай рівняння

(4)

визначає головний діаметр, який ділить пополам перпендикулярні до нього хорди

, (5)

які паралельні до вектора . Запишемо рівняння (4) у виді

. (6)

Оскільки вектор перпендикулярний до прямої (6), то він буде паралельним до вектора . Тому , або

.

Ми отримали систему лінійних однорідних рівнянь

, (7)

яка має ненульовий розв’язок тільки при умові, коли її визначник дорівнює нулю, тобто, коли виконується рівність

. (8)

Одержане рівняння називається характеристичним рівнянням лінії другого порядку. Через інваріанти воно записується у виді

. (9)

Характеристичне рівняння завжди має дійсні корені, оскільки його дискримінант рівний . Використовуючи дані корені, кутовий коефіцієнт головного напрямку можна обчислити за допомогою співвідношень

, (10)

які випливають з рівностей (7).

3. Розглянемо питання, скільки та які види ліній може задавати рівняння (1). Насамперед нагадаємо, що рівняння (ми уже зустрічали його при дослідженні питання існування головних напрямків (див. лекції 19-20, п. 4)) завжди має корені, причому кут повороту , при якому вісь координатної системи набуває головного напрямку, визначається рівністю (тут - один із коренів характеристичного рівняння).

Обчислимо для рівняння (1) інваріанти , та розглянемо спочатку випадок , тобто випадок, коли лінія центральна.

Після перенесення початку координат у центр лінії та повороту на кут, при якому координатні осі набувають головних напрямків, рівняння лінії зведеться до виду

. (11)

Складаючи та розв’язуючи характеристичне рівняння або , дістаємо

.

Обчислимо для рівняння (11) інваріант :

.

Отже, . Рівняння (11), таким чином, набуде виду

. (12)

Можливі наступні випадки:

1) , - одного знаку. Немає жодної пари дійсних чисел, які задовольняють рівняння (12). Лінію називають уявним еліпсом. Прикладом уявного еліпса може бути лінія, задана рівнянням .

2) , - одного знаку (), частка - протилежного. Рівняння (12) запишемо у виді . Очевидно, що одержане рівняння задає еліпс.

3) , - протилежного знаку (тобто ). Рівняння (12) запишемо у виді . Оскільки знаменники дробів мають протилежні знаки, то одержане рівняння задає гіперболу.

4) , - одного знаку (). Рівняння має єдиний нульовий розв’язок. В полі комплексних чисел дане рівняння можна записати у виді

,

де . Кажуть, що у цьому випадку лінія вироджується в пару уявних прямих, які перетинаються у дійсній точці. Відповідним прикладом може бути лінія, задана рівнянням з єдиним дійсним розв’язком .

5) , - протилежного знаку (). У цьому випадку рівняння можна записати у виді . Лінія являє собою пару прямих, які перетинаються. Рівняння ілюструє цей випадок. Записавши його у виді , бачимо, що воно задає дві прямі, що перетинаються: та .

Тепер розглянемо випадок, коли , тобто, коли лінія нецентральна. Одним із коренів характеристичного рівняння є число . Після повороту на

кут , при якому вісь набуде головного напрямку, рівняння лінії зведеться до виду

, (13)

де - другий корінь характеристичного рівняння. У цьому випадку інваріант

.

Оскільки , то при дістаємо і рівняння (13) перетвориться у квадратне відносно змінної . У залежності від дискримінанта дістаємо три випадки:

6) , квадратне рівняння має два різні дійсні корені, а рівняння лінії задає дві паралельні прямі;

7) , квадратне рівняння має два рівні корені, а рівняння лінії задає дві прямі; які співпадають;

8) , квадратне рівняння має два різні уявні корені, а рівняння лінії задає дві уявні паралельні прямі.

Нехай для рівняння (13) , тобто . Виконаємо паралельне перенесення системи координат у новий початок – точку, координати якої знайдемо, розв’язавши систему рівнянь

.

Тоді у перетвореному рівнянні коефіцієнти та перетворяться в нуль. Справді, новий початок вибрано на лінії, тому . Оскільки , то . Обчисливши тепер із умови невідомий коефіцієнт , дістаємо рівняння лінії у виді

. (14)

Одержане рівняння визначає параболу. Зауважимо, що новий початок, в який ми переносили систему координат, є вершиною параболи. Таким чином:

9) якщо та , то рівняння (1) визначає параболу.

Підсумовуючи сказане, зробимо наступний висновок. Існує 9 різних типів ліній другого порядку:

1) еліпс, 2) уявний еліпс,

3) гіпербола, 4) парабола,

5) дві прямі, що перетинаються,

6) дві паралельні прямі,

7) дві прямі; що співпадають,

8) пара уявних прямих, що перетинаються у дійсній точці,

9) дві уявні паралельні прямі.

4. Розглянемо питання побудови ліній другого порядку за допомогою інваріантів.

Розв’язання. Виконаємо наступні обчислення:

, , .

Характеристичне рівняння запишеться у виді та має корені . Використавши рівняння (12), запишемо початкове рівняння у виді , або

.

Одержали канонічне рівняння еліпса. Для зображення системи координат, в якій еліпс задається даним канонічним рівнянням, знайдемо його центр. Із системи

дістаємо . Знайдено початок нової системи координат – точку . Для відшукання кута повороту дістаємо

.

Залишається зобразити нову систему координат та побудувати в ній еліпс за його канонічним рівняння (рис. 1). Пропонуємо порівняти одержаний результат із міркуваннями, наведеними у лекціях 19 – 20 (задача 7), де дана лінія була зображена, як підсумок дослідження її властивостей.

Приклад 2. Звести до канонічного виду рівняння лінії та побудувати її.

Розв’язання. Виконаємо аналогічні до попереднього прикладу обчислення:

, , .

Характеристичне рівняння має корені . Рівняння параболи, відповідно до рівності (14), запишемо у виді або . Для відшукання нової системи координат спочатку знайдемо вершину параболи. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Отримуємо , звідки знаходимо . Поворот системи координат здійснюється на кут .

Зауважимо, що даний приклад ми уже розглядали у попередній лекції (задача 4), але розв’язували його іншим методом. Там же наведено зображення даної лінії (рис. 4).

Приклад 3. Встановити вид лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Обчислимо інваріант .

.

Оскільки , то рівняння задає вироджену лінію. Тому розв’яжемо його, як квадратне відносно однієї із змінних, нехай змінної . Дістаємо

,

звідки та . За допомогою знайдених коренів задане рівняння можна записати у виді . Очевидно, що воно задає дві прямі та .

Відповідь. Дві прямі та , що перетинаються.