Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні переміщень.

1. Зупинимось на розгляді деяких частинних випадків афінних перетворень. Зокрема нас будуть цікавити ті перетворення, які зберігають відстані між точками.

Означення. Перетворення, при яких зберігаються відстані між точками, називаються переміщеннями (рухами або ізометричними перетвореннями).

Згідно із означенням, якщо точки та рухом переводяться у точки та , то для будь-яких точок та .

Насамперед покажемо, що переміщення є афінним перетворенням та встановимо, які умови потрібно накласти на коефіцієнти у формулах

, (1)

щоб дане афінне перетворення було переміщенням.

Як нам відомо, співвідношення (1) при умові , задають афінне перетворення, при якому точка та вектори і є образами елементів початкового репера .

Виберемо на площині довільний ортонормований репер , який перетворенням (1) переводиться у новий репер . Нехай , , , , а точки є відповідно образами точок при перетворенні (1). Оскільки при русі зберігаються відстані, то , . Відрізок , довжина якого дорівнює , переводиться у рівний відрізок , тому трикутник - прямокутний. Отже, вектори та утворюють ортонормований базис. Таким чином, при русі ортонормований репер переходить в ортонормований репер (тут ми використали традиційні для одиничних базисних векторів позначення: та ).

Нехай вектор утворює із вектором кут . Тоді

у випадку, коли базиси та орієнтовані однаково (рис. 1), та у випадку протилежної орієнтації базисів (рис. 2). Отже, якщо формули (1) задають переміщення, то

,

де у випадку, коли базиси та орієнтовані однаково та у протилежному випадку.

Іншими словами, афінне перетворення, яке є рухом, визначається рівностями

. (2)

Навпаки, нехай деяке перетворення площини задане рівностями (2). Для двох точок та їх образів дістаємо

,

тобто таке перетворення є рухом.

Оскільки існує єдине афінне перетворення, яке один репер переводить в інший (лекція 26, п.1), то існує єдиний рух, який деякий ортонормований репер переводить в інший ортонормований репер.

Таким чином ми встановили, що переміщення однозначно можна задавати відповідністю двох ортонормованих реперів, або співвідношеннями

,

де у випадку однойменної орієнтації базисів та і у випадку різнойменної орієнтації. В обох випадках визначник матриці перетворення

.

Зауважимо, що, поклавши у співвідношеннях (2) , можна досліджувати існування інваріантних (тобто таких, які переводяться в себе) точок переміщень.

Нам відомо, що існує єдине афінне перетворення , яке трикутник переводить у трикутник (властивість 6, л. 26). Нехай - рух. Тоді трикутник перейде у рівний йому трикутник (трикутники рівні за трьома сторонами, оскільки зберігає довжини відрізків). Із єдиності випливає, що перетворення, яке є рухом, можна задавати також відповідністю двох рівних трикутників.

2. Позначимо множину всіх рухів через та нехай . Очевидно, що:

1) композиція двох переміщень, тобто перетворення , теж є рухом;

2) перетворення, обернене до руху, є рухом.

Справді, нехай рух переводить відрізок у рівний йому відрізок , а рух переводить відрізок у рівний йому відрізок . Тоді, оскільки , то при перетворенні зберігаються відстані між точками.

Із умов 1), 2) випливає, що множина всіх рухів утворює групу. Позначимо її через . Ця група є підгрупою групи афінних перетворень.

У попередній лекції ми домовилися у випадку афінне перетворення називати власним, а при - невласним. Якщо афінне перетворення є рухом, то при це власне перетворення називають рухом першого роду, а при - рухом другого роду.

Пропонуємо самостійно обґрунтувати ті факти, що тотожне перетворення є рухом першого роду, композиція двох рухів першого роду або двох рухів другого роду є рух першого роду, а композиція двох рухів різного роду є рух другого роду. Перетворення, обернене до руху першого роду, є рухом першого роду. Тому рухи першого роду утворюють підгрупу групи рухів. Множина рухів другого роду групи не утворює, оскільки композиція двох рухів другого роду не є рухом другого роду.

Група рухів, будучи підгрупою групи афінних перетворень, володіє всіма властивостями останньої. Тому:

1) при русі вектор переходить у вектор з такими ж координатами, зокрема колінеарні вектори відображаються у колінеарні (зауважимо, що координати векторів розглядаються відносно різних базисів);

2) рух відображає пряму на пряму, а паралельні прямі переводить у паралельні, причому відстані між парами цих паралельних прямих рівні;

3) при русі відрізок переходить у рівний відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема, при русі точка, яка є серединою відрізка переходить у точку, яка є серединою відрізка;

4) рух переводить півплощину у півплощину.

Крім перерахованих властивостей рухів вони, очевидно, володіють також деякими іншими властивостями, які не характерні для всієї групи афінних перетворень. Зокрема

5) при русі зберігається скалярний добуток векторів.

Дане твердження є наслідком властивості 1), а також того, що рух переводить ортонормований репер в ортонормований. Тому

6) при русі кути переходять у рівні кути, зокрема перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні.

Назвемо дві фігури та конгруентними, якщо в групі рухів знайдеться перетворення, яке фігуру переводить у фігуру .

Відношення конгруентності є рефлексивним, симетричнимта транзитивним. Справді,

1) кожна фігура переводиться в себе тотожнім перетворенням;

2) якщо фігура конгруентна фігурі , то фігура конгруентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї оберненим перетворенням;

3) якщо фігура конгруентна фігурі , а фігура - фігурі , то фігура конгруентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї рухом, який є композицією двох рухів, перший з яких переводить у , а другий - у .

Відомо, що відношення, яке володіє властивостями рефлексивності, симетричностіта транзитивності є відношенням еквівалентності. Відношенням еквівалентності, задане на деякій множині, розбиває цю множину на класи еквівалентності.

Відношення конгруентності, яке, в силу зроблених вище зауважень, є відношенням еквівалентності, розбиває множину всіх геометричних фігур на класи конгруентних фігур.

Дві фігури, які належать одному класу конгруентності, називають рівними.

Наприклад, клас конгруентних трикутників (або чотирикутників) утворюють всі трикутники (чотирикутники), у яких рівні відповідні сторони та кути. Всі кола однакового радіуса конгруентні. Нагадаємо, що у шкільному курсі геометрії доводиться ряд теорем, які визначають клас конгруентних трикутників. Це так звані ознаки рівностітрикутників. Відповідно до цих теорем, для рівності двох трикутників достатньо, щоб вони мали:

1) по три рівні сторони,

2) по дві рівні сторони та рівні кути між ними,

3) по рівній стороні та по два рівні прилеглі до них кути.

3. Розглянемо частинні випадки співвідношень (2), тобто окремі види рухів.

1. При та формули (2) набувають виду

. (3)

У цьому випадку точка переводиться у точку , тому . Оскільки вектор сталий і не залежить від вибору точки , то перетворення, яке задається формулами (3), є паралельним

перенесенням на вектор (рис. 3). Тобто задання паралельного перенесення рівносильне заданню співвідношень (3). Послідовне виконання двох паралельних перенесень спочатку на вектор , а потім на вектор буде паралельним перенесенням на вектор . Воно задаватиметься співвідношеннями

. (4)

Оберненим до є паралельне перенесення на вектор . Воно задається рівностями

. (5)

Співвідношення (4) та (5) аналітично обґрунтовують той факт, що множина паралельних перенесень утворює групу. Вона є підгрупою рухів, тому володіє всіма властивостями групи рухів. Оскільки додавання векторів комутативне, тобто для довільних векторів та виконується рівність , то група паралельних перенесень є комутативною.

2. Нехай , та . Тоді рівності (2) запишуться у виді

. (6)

Точки та розташовані симетрично відносно осі . Тому формули (6) задають осьову симетрію з віссю симетрії . Із перетворенням симетрії відносно прямої ми вже зустрічалися (лекція 26) та домовилися позначати його символом .

Оскільки осьова симетрія є рухом, то для неї теж виконуються всі властивості групи рухів. Очевидно, що осьова симетрія є рухом другого роду і змінює орієнтацію площини. Множина осьових симетрій з різними осями симетрії групи не утворює, оскільки композиція двох осьових симетрій не змінює орієнтації площини і тому не може бути осьовою симетрією.

Покажемо, як можна шукати формули симетрії у випадку, коли віссю симетрії є довільна пряма.

Нехай деяка пряма , яка задана рівнянням , є віссю симетрії (рис. 4). Якщо точки та розташовані симетрично відносно прямої , то координати середини відрізка , тобто числа та задовольнятимуть рівняння прямої. Тому виконується рівність

.

З іншого боку, оскільки вектор , який паралельний до прямої , є перпендикулярним до вектора , то виконується рівність або

.

Система, складена із двох одержаних рівнянь дозволяє виразити змінні та через та , тобто знайти шукані формули симетрії.

3. Нехай та . Тоді рівності (2) запишуться у виді

. (7)

У даному випадку початок координат не змінює свого положення, а вектори

При повороті на кут формули (7) набувають виду

та виражають собою центральну симетрію з центром у початку координат, тобто .

4. Нехай та . Тоді рівності (2) запишуться у виді

. (8)

Перетворення, яке задається за допомогою одержаних співвідношень, називається ковзною симетрією.

Рівності

,

дають підставу стверджувати, що ковзна симетрія являє собою композицію осьової симетрії з віссю симетрії та паралельного перенесення на вектор , який паралельний до осі симетрії.

Позначають ковзну симетрію символом , де - пряма, яка є віссю симетрії, а вектор паралельний до прямої (рис. 6). Для ковзної симетрії виконується рівність

.

4. Нехай деяке переміщення задане відповідністю двох ортонормованих реперів та . При осьовій симетрії відносно серединного перпендикуляра до відрізка точка перейде у точку , а вектори та - у вектори та . Нехай вектори та утворюють кут , а пряма є бісектрисою цього кута. Симетрія відносно прямої сумістить вектор з вектором . При цьому вектор або суміститься з вектором , якщо базиси та однаково орієнтовані (рис. 7_а), або буде до нього протилежним у випадку протилежної орієнтації базисів (на рис. 7_б – це вектор ). У першому випадку репер перейде у репер за допомогою двох осьових симетрій, а у другому репери сумістяться після ще одної осьової симетрії – симетрії відносно прямої, яка проходить через точку паралельно до вектора .

Таким чином, доведено наступне твердження.

Теорема. Будь-який рух першого роду можна представити у вигляді композиції не більше, як двох осьових симетрій. Будь-який рух другого роду представляється у вигляді композиції не більше, як трьох осьових симетрій.