III. Кривые второго порядка

Задача 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ОУ, симметрично относительно точки ; малая ось равна 12, эксцентриситет равен 0, 8.

Решение. Так как эллипс симметричен относительно начала координат, то центром эллипса является точка . Тогда по таблице IV уравнение эллипса примет вид: (1)

По условию фокусы . Большая ось равна , малая ось равна . Таким образом, .

По таблице III имеем: 1) и 2) .

Приравнивая правые части полученных выражений, имеем уравнение . Из этого уравнения находим . Учитывая, что , получаем .

Вычисленные значения и подставим в уравнение эллипса:

■

Задача 2. На эллипсе найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза меньше расстояния до левого фокуса.

Решение. Разделив обе части исходного уравнения на 400, находим каноническое уравнение эллипса , откуда .

По таблице , то есть ,

Расстояние от точки эллипса до фокусов (фокальные радиусы) определяются формулами: , т.е.

По условию тогда – абсцисса искомой точки. Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим .

Таким образом, искомая точка .■

Задача 3. Составить простейшее уравнение гиперболы симметричной относительно координатных осей, пересекающей ось ОУ и проходящей через две точки , . Найтифокусы этой гиперболы.

Решение. Так как гипербола симметрична относительно координатных осей, то центр гиперболы – начало координат. По условию гипербола пересекает ось ОУ, следовательно, ОУ – действительная ось. Поэтому, уравнение гиперболы ищем в виде:

Так как точки М и N лежат на гиперболе, то их координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставляя координаты данных точек в это уравнение, получим: Решая данную систему уравнений, найдем Таким образом, есть искомое уравнение.

Определим с по таблице: Фокусы гиперболы лежат на действительной оси, то есть на оси ОУ: ■

Задача 4. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки и прямой . Определить точки пересечения этой кривой с осями координат, построить эту кривую.

Решение. Искомым геометрическим местом будет парабола.

Пусть – произвольная точка параболы. По условию , где – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

Так как и , то .

Откуда , то есть или .

Вершина параболы , параметр ; ветви параболы направлены вверх.

Для определения точек пересечения с осью ОХ необходимо решить систему уравнений: Получаем

Таким образом, – две точки пересечения с осью ОХ. Полагая в уравнении параболы (уравнение оси ОУ), получим Парабола пересекает ось ОУ в точке , которая является в данном случае вершиной параболы. Точка – фокус параболы, прямая – директриса параболы. Ниже изображен график этой параболы.

y

F

3 M(x, y)

M₁ M₂ x

B

N ■

Задача 5. Составить уравнение параболы, зная, что фокус находится в точке , директриса будет осью ординат и ось симметрии – осью абсцисс.

Решение. По таблице IV уравнение параболы, имеющей осью симметрии ось абсцисс, имеет вид (так как ). Расстояние от фокуса до директрисы равно р. Следовательно, .

Так как каждая точка параболы равноудалена от фокуса F и директрисы, то для вершины параболы, расположенной на оси ОХ получим уравнение: , , то есть . Возвращаясь к уравнению параболы при , получаем или ■