Остаточный член формулы прямоугольников.

Вернемся, к промежутку x Î [–a, a]. На этом промежутке, рассмотрим функцию . Функция F(a), обладает свойствами:

1) F(– a) = –F (a); 2) F¢ (a) = f (–a) + f (a).

Теперь вспомним: .

Разность F(a) – S ₁ это и есть, по сути, ошибка, допущенная при вычислении интеграла. Разложим F(a) в ряд Тейлора в окрестности a = 0 с остаточным членом в интегральной форме: .

Тогда:

.

В последнем переходе мы учли, что F(a) – нечетная функция и, следовательно F (0) = = F² (0) = 0. А теперь воспользуемся теоремой о среднем и свойством 2) функции F¢ (a):

.

Здесь . Кроме того, использован факт, что, взвешенное среднее находится между наибольшим и наименьшим b_i. Далее, мы предположили, что f ² (x) – непрерывная функция, хотя то же самое можно получить и при более скромных предположениях.

Оценивая ошибку на [ a, b ], просуммируем ошибки по всем подпромежуткам и еще раз используем теорему о взвешенных средних:

.

В итоге оценка сверху (а именно такая оценка нас и интересует) для остаточного члена формулы прямоугольников имеет вид:

.