Вычисление производной по её определению.

Численное дифференцирование.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀ и имеет производную в этой точке, т.е. существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю

(1).

Значение производной в точке x ₀ можно получить, переходя к пределу в (1) по последовательности целых чисел n и полагая, например Здесь (D x)₀ - некоторое начальное приращение аргумента, a - некоторое число, большее 1, n =0, 1, 2, …. Тогда значение производной функции f (x) в точке x ₀ запишется так:

Отсюда получим приближённое равенство (2).

Для функции y=f (x), имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки x ₀, точность приближения производной соотношением (2) можно установить, воспользовавшись формулой Тейлора

.Тогда и окончательно имеем

.

Замечание. Для достижения заданной точности e приближения производной при определённом числе вычислений можно использовать неравенство

(3).

Пример. Вычислить производную функции y= sin x в точке с точностью e=10^-3 (p3»1, 047198).

Решение:

Пусть , тогда .

Определим приближённое значение производной:

(n= 0, 1, 2, …).

Найдём отношения, аппроксимирующие производную

Итак, начиная с третьего приближения в соответствии с оценкой (3) получаем искомое приближение производной данной функции с точностью, не меньшей, чем заданное e =0, 001.