Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования.

Пусть функция y=f (x) определена на отрезке [ a, b ] и в точках x_i (i= 0, 1, 2, …, n) принимает значения y_i=f (x_i).

Разность между соседними значениями аргумента x_i постоянна и является шагом h=x_i-x_{i- 1} (i= разбиения отрезка на n частей, причём a=x ₀ и b=x_n.

Найдём аппроксимации производных первого и второго порядков с помощью значений функции y_i в узловых точках x_i с погрешностью одного и того же порядка в зависимости от шага h, причём этот порядок не ниже, чем достигаемый при конечно-разностной аппроксимации производных для того же шага.

Для того, чтобы выразить значения производных через значения функции y_i в узлах интерполяции x_i, построим интерполяционный многочлен Лагранжа L_m (x) степени m, удовлетворяющий условиям: L_m (x_k)= f (x_k)= y_k, k=i, i+ 1, …, i+m; i+m £ n. Многочлен L_m (x) интерполирует функцию f (x) на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}]. Дифференцируя многочлен L_m (x), получаем значения производных в точках x_k, k=i, i+ 1, …, i+m.

Если m= 1, то L ₁(x)-линейная функция, график которой проходит через точки (x_i, y_i) и (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}). Тогда

.

Если m= 2, график интерполяционного многочлена Лагранжа L₂ (x)-парабола, проходящая через три точки (x_i, y_i), (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}), (x_{i+ 2}, y_{i+ 2}) Вычислим первую и вторую производные многочлена L₂ (x) на отрезке (x_i, x_{i+ 2}):

Первая и вторая производные многочлена Лагранжа L ₂(x) в точках x_i, x_{i+ 1}, x_{i+ 2} являются приближениями производных соответствующих функции f (x) в этих точках:

(1).

(2).

Если функция f (x) на отрезке [ x_i, x_{i+ 2}] имеет непрерывную производную до третьего порядка включительно, то справедливо представление функции в виде суммы f (x)= L ₂(x)+ R ₂(x) (3), где R ₂(x)-остаточный член интерполяционной формулы, причём

xÎ (x_i, x_{i+ 2})

В этом случае можно дать оценку погрешности приближений производных соотношениями (1) и (2). Дифференцируя (3), получим

(4)

(5)

Здесь

,

xÎ (x_i, x_{i+ 2}) (6)

, (7)

Погрешности при вычислении производных в точках x_i, x_{i+ 1}, x_{i+ 2} определяются следующими значениями остатков:

(8)

(9)

Следствие 1. Таким образом, равенство (8) показывает, что погрешности аппроксимации первой производной f ^' (x) c помощью формул (1) имеют один и тот же порядок 0(h ²) и естественна следующая рекомендация по их применению на отрезке [ a, b ] в точках x_i, i= 0, 1, 2, …, n при n ³ 2

(10)

Следствие 2. Из равенства (9) следует, что приближение второй производной с помощью формулы (2) имеет различный порядок в зависимости от h в разных точках: в точках x_i и x_{i+ 2} имеет погрешность порядка h, а в точке x_{i+ 1} порядок погрешности выше

Пример. Значения функции y= sin x определены таблицей

с помощью формул (1) и (2) приближения найти y^' (0) и y^'' (0) и оценить погрешность результатов вычислений.

Решение:

0< x< .

Так как ,

то

Итак ±0, 09 (точное значение y^' (0)=cos 0=1.Теперь воспользуемся формулой (2):

.

Как видим, для лучшей оценки производной второго порядка необходимо увеличить число узловых точек и выбрать меньший шаг.