Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования.






Пусть функция y=f (x) определена на отрезке [ a, b ] и в точках xi (i= 0, 1, 2, …, n) принимает значения yi=f (xi).

Разность между соседними значениями аргумента xi постоянна и является шагом h=xi-xi- 1 (i= разбиения отрезка на n частей, причём a=x 0 и b=xn.

Найдём аппроксимации производных первого и второго порядков с помощью значений функции yi в узловых точках xi с погрешностью одного и того же порядка в зависимости от шага h, причём этот порядок не ниже, чем достигаемый при конечно-разностной аппроксимации производных для того же шага.

Для того, чтобы выразить значения производных через значения функции yi в узлах интерполяции xi, построим интерполяционный многочлен Лагранжа Lm (x) степени m, удовлетворяющий условиям: Lm (xk)= f (xk)= yk, k=i, i+ 1, …, i+m; i+m £ n. Многочлен Lm (x) интерполирует функцию f (x) на отрезке [ xi, xi+ 1]. Дифференцируя многочлен Lm (x), получаем значения производных в точках xk, k=i, i+ 1, …, i+m.

Если m= 1, то L 1(x)-линейная функция, график которой проходит через точки (xi, yi) и (xi+ 1, yi+ 1). Тогда

.

Если m= 2, график интерполяционного многочлена Лагранжа L2 (x)-парабола, проходящая через три точки (xi, yi), (xi+ 1, yi+ 1), (xi+ 2, yi+ 2) Вычислим первую и вторую производные многочлена L2 (x) на отрезке (xi, xi+ 2):

Первая и вторая производные многочлена Лагранжа L 2(x) в точках xi, xi+ 1, xi+ 2 являются приближениями производных соответствующих функции f (x) в этих точках:

(1).

(2).

Если функция f (x) на отрезке [ xi, xi+ 2] имеет непрерывную производную до третьего порядка включительно, то справедливо представление функции в виде суммы f (x)= L 2(x)+ R 2(x) (3), где R 2(x)-остаточный член интерполяционной формулы, причём

xÎ (xi, xi+ 2)

В этом случае можно дать оценку погрешности приближений производных соотношениями (1) и (2). Дифференцируя (3), получим

(4)

(5)

Здесь

,

xÎ (xi, xi+ 2) (6)

, (7)

Погрешности при вычислении производных в точках xi, xi+ 1, xi+ 2 определяются следующими значениями остатков:

(8)

(9)

Следствие 1. Таким образом, равенство (8) показывает, что погрешности аппроксимации первой производной f ' (x) c помощью формул (1) имеют один и тот же порядок 0(h 2) и естественна следующая рекомендация по их применению на отрезке [ a, b ] в точках xi, i= 0, 1, 2, …, n при n ³ 2

(10)

Следствие 2. Из равенства (9) следует, что приближение второй производной с помощью формулы (2) имеет различный порядок в зависимости от h в разных точках: в точках xi и xi+ 2 имеет погрешность порядка h, а в точке xi+ 1 порядок погрешности выше

Пример. Значения функции y= sin x определены таблицей

x   p6 p3
sin x   0, 5 0, 866

с помощью формул (1) и (2) приближения найти y' (0) и y'' (0) и оценить погрешность результатов вычислений.

Решение:

0< x< .

Так как ,

то

Итак ±0, 09 (точное значение y' (0)=cos 0=1.Теперь воспользуемся формулой (2):

.

Как видим, для лучшей оценки производной второго порядка необходимо увеличить число узловых точек и выбрать меньший шаг.

 

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал