Методы Рунге - Кутта.

Определение. Численные методы решения задачи Коши на равномерной сетке (x ₀= a, x ₁, x ₂, …, x_m = b) отрезка [ a, b ] с шагом называются методами Рунге - Кутта, если, начиная с данных (x ₀, y ₀), решение ведётся по следующим рекуррентным формулам:

(1)

)

Метод называется методом Рунге - Кутта порядка p, если он имеет p - й порядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности p достигается с помощью формул (1) при определённых значениях коэффициентов c_j и d_j (j= 1, 2 ,..., p); причем c ₁ всегда полагают равным нулю. Эти коэффициенты вычисляются по следующей схеме:

1) точное решение и его приближение представляют в виде разложения по формуле Тейлора с центром x ₀ вплоть до слагаемого порядка h^{p +1};

2) из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разложениях получают уравнения, решая которые находят коэффициенты c_j и d_j.