Случай. метод Рунге - Кутта первого порядка.

Этот метод такжеможно назвать методом Эйлера

Покажем это. Пусть p =1, c ₁=0, d ₁=1, формулы (1) преобразуются в соотношения: x_i=x_{i- 1} +h, y_i=y_{i- 1} + D y_{i- 1}, i= 1, 2, …, m

или

.

Случай. Метод Рунге-Кутта второго порядка.

Этот метод такженазывается методом Эйлера - Коши.

Пусть p =2, c ₁=0, c ₂=1, d ₁= d ₂= . Алгоритм метода Эйлера - Коши получается из формул (1):

x_i=x_{i- 1}+ h, y_i= (2)

Для практической оценки решения можно применять правило Рунге, полагая в приближённом равенстве (правиле Рунге) p =2.

Пример. Решить задачу Коши y^'=x+y, методом Эйлера - Коши на отрезке [0; 0, 4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом 0, 1 в четырёх узловых точках.

Решение. Формулы (2) в данном случае примут вид:

Полагая x ₀=0, y ₀=1 при i =1 последовательно находим

;

;

при i =2

.

Далее получаем: при i =3, x ₃=0, 3 -- y ₃=1, 398405, при i =4, x ₄=0, 4 -- y ₄=1, 581804.

Погрешность полученного решения не превышает величины