Ре­ше­ние. C5. Гео­мет­ри­че­ская задача на доказательство

C5. Гео­мет­ри­че­ская задача на доказательство

1. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC=ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки BEC и AED равны по трём сто­ро­нам. Зна­чит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

2. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма; ∠ BAE = ∠ DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Сле­до­ва­тель­но, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Таким об­ра­зом, в четырёхуголь­ни­ке BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, по­это­му BFDE — па­рал­ле­ло­грамм.

3. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.