Дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки

Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения:

, (1)

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

;	(2) ;

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений искомого решения в точках . Для этого разобьем отрезок на равных частей с шагом . Полагая и вводя обозначения , , для внутренних точек отрезка , вместо дифференциального уравнения (1)–(2) получаем систему конечноразностных уравнений:

После соответствующих преобразований будем иметь

, , (3)

где

.

Полученная система имеет линейных уравнений с неизвестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно , будем иметь

.

Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

, (4)

где – некоторые коэффициенты.

Отсюда . Подставляя это выражение в (3), получим и, следовательно,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения рекуррентные формулы:

.

Определим :

.

Из формулы (4) при имеем

. (6)

Поэтому

, . (7)

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты до включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения . Решая систему

,

получим

и по формуле (4) последовательно находим .

Для простейших краевых условий формулы для упрощаются. Полагая получим .

Отсюда .

Пример. Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

Таблица 10

		-0, 498	-0, 662	-0, 878	-0, 890	-0, 900
		0, 001	0, 002	0, 004	0, 008	0, 012
		0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5
		-0, 025	-0, 049	-0, 072	-0, 078	-0, 081
		-0, 015	-0, 029	-0, 041	-0, 050	-0, 057

	-0, 908	-0, 915	-0, 921	-0, 926
	0, 16	0, 022	0, 028	0, 035
	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9
	-0, 078	-0, 070	-0, 055	-0, 032
	-0, 058	-0, 054	-0, 044	-0, 026