Короткі теоретичні відомості. Довжиною L дуги АВ називається границя, до якої прямує периметр Рn вписаної в цю дугу ламаної, коли кількість n її ланок необмежено зростає

М₁ М₂

А

B

Довжиною L дуги АВ називається границя, до якої прямує периметр Р_n вписаної в цю дугу ламаної, коли кількість n її ланок необмежено зростає, а найбільша із довжин S її ланок прямує до нуля:

Якщо функції неперервні на відрізку [a; b], то довжина відповідної дуги кривої

(1)

Якщо криву АВ задано параметрично рівняннями x=x(t), y=y(t), , де функції неперервні на , причому точці А відповідає значення параметра , а точці В-значення , то довжина цієї кривої

(2)

Якщо криву задано в полярних координатах рівнянням , , то її довжина

(3)

де функції неперервні на відрізку

Приклад 1. Обчислити довжину напівкубічної параболи у²=х³ між точками з абсцисами х=1 і x=2.

Диференціюючи рівняння кривої, знаходимо

Тоді за формулою(1) .

Приклад 2. Обчислити довжину кардіоїди .

Задана крива симетрична відносно полярної вісі, тому при зміні кута

від 0 до полярний радіус опише половину кривої. Оскільки , обчислюємо за формулою (3) довжину кривої.

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Що називається довжиною дуги кривої та як вона обчислюється?

2. Обчислити довжини дуг таких кривих:

· параболи між точками її перетину з віссю Ох;

· кривої, заданої параметрично рівняннями

· першого витка спіралі