Теплопроводность при нестационарном состоянии

Основные решения. Как отмечалось выше, при нестаци­онарном состоянии с течением времени происходит измене­ние температуры тела, т. е. дТ/дt ¹ 0.

Подобное изменение температуры тела возможно, когда тело остывает или когда оно нагревается. На практике это широко распространенный процесс нагрева металла. Реше­ние дифференциального уравнения теплопроводности со­вместно с краевыми условиями представляет собой весьма сложную математическую задачу, поэтому остановимся лишь на решении при краевых условиях III рода, получив­шем наибольшее практическое распространение. На прак­тике часто встречаются печи, в которых нагрев металла происходит при неизменной температуре рабочего простран­ства. Некоторые печи с изменяющейся температурой по длине печи можно условно разделить на расчетные участки с приближенно неизменной температурой в пределах каж­дого участка и к каждому из них применить решения, полу­ченные при краевых условиях III рода.

Приведем без вывода окончательное решение дифферен­циального уравнения теплопроводности для бесконечной плиты при краевых условиях III рода, которое имеет сле­дующий вид:

где Т ₀— температура печи (среды), К; Т _нач — температура металла в начальный момент нагрева, К; а — коэффициент температуропроводности, м²/с; t — время нагрева (или ох­лаждения) тела, с; S — расчетная толщина нагреваемого тела, м; d — величина, зависящая от aS/l; a — коэффици­ент теплоотдачи (от газа к металлу), Вт/(м²× К); х — рас­стояние от центра тела до той точки, для которой определя­ют температуру Т, м.

Анализируя уравнение (42), можно видеть, что темпера­тура нагрева металла Т зависит от трех безразмерных ком­плексов: критериев аt / S ², aS/l и х/S и что уравнение (42) может быть заменено критериальным уравнением следую­щего вида:

(43)

где q — безразмерный температурный критерий; Т ₀ — тем­пература среды (печи); Т _нач и Т _кон —температура нагрева­емого тела соответственно начальная и конечная.

В зависимости от условий решения уравнения Т _конмо­жет представлять собой как конечную температуру поверх­ности тела (при х / S = 1), так и конечную температуру в центре тела (при х / S = 0).

Безразмерный комплекс аt / S ² представляет собой из­вестный критерий Фурье, а безразмерный комплекс aS/l — критерий Био.

Безразмерный геометрический симплекс х / S определяет собой местоположение точки в теле, для которой определя­ют температуру. Так, для центра нагреваемого тела x = 0 и х / S = 0, для поверхности тела x = S и х / S = 1.

Таким образом, решая уравнение (43) для поверхности тела (х / S = 1), получаем температурный критерий

Характер нагрева тел существенно зависит от критерия Вi. Данное решение (42) целесообразно использовать при Вi> 0, 5.

Аналогичные решения уравнения (42) могут быть полу­чены с краевыми условиями I и II рода, расчеты по кото­рым рассмотрены во II томе данного учебника. Для инже­нерных расчетов зависимости типа (43) обычно представляются в графическом виде.

В металлургии и машиностроении распространенным процессом нестационарной теплопроводности является про­цесс нагрева металла перед обработкой давлением и для термической обработки. В процессе нагрева изменяется не только температура металла, но и его физические свойства (l, с, r) и коэффициент теплоотдачи. Однако аналитические решения типа (42) и (43) получены при условии, что эти величины не изменяются во времени. Поэтому для получе­ния надежных результатов весь период нагрева целесооб­разно разбивать на интервалы и в пределах каждого интер­вала температуру усреднять и по ней выбирать и опреде­лять l, с, r и a.

Метод конечных разностей. Некоторые практические задачи могут быть решены с применением приближенных методов. К их числу отно­сится метод конечных разностей (метод Шмидта), который часто при­меняют для нагрева или остывания огнеупорной футеровки печи. Этот метод основан на том, что в дифференциальном уравнении теплопро­водности бесконечно малые величины заменяют малыми, но уже ко­нечными величинами. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока имеет вид

Если бесконечно малые приращения dТ, dt, dх заменить конечными малыми прираш.ениями, то уравнение можно записать так:

(44)

В этом уравнении конечные малые приращения представляют со­бой: Dt — отрезок времени, в течение которого происходит изменение температуры D T, с; D x — толщину элементарного слоя нагреваемого материала, на протяжении которой происходит изменение температуры в течение времени Dt, м.

Для практического применения этого метода необходимо выбрать значения величин D x и Dt

Для определения D x всю стенку конечной толщины следует произ­вольно разделить на некоторое число равных по толщине слоев и таким образом определить величину D x, выраженную в метрах, а следователь­но, и число слоев m = x /D x. Отсчет слоев D x следует вести от более нагретой стороны стенки к менее нагретой: D x ₁ — слой, расположенный непосредственно у более нагретой поверхности, а D x_m — слой, располо­женный около холодной поверхности.

Отрезок времени Dt определяют в зависимости от величины по вы­ражению

где а — коэффициент температуропроводности, м²/с.

Задача расчета заключается в том, чтобы установить распределение температур в стенке по истечении определенного времени t, прошедше­го с момента начала нагрева. Таким образом, частное n = t /Dt дает число расчетных отрезков времени, из которых Dt₁ — начальный, а Dt_к — конечный отрезок времени, ч.

В начале нагрева, т. е. в начале отрезка, характеризующего вре­мя Dt₁ температура нагреваемого тела в пределах каждого отрезка D x считается неизменной. Обычно нагрев подобного рода происходит с од­ной стороны, поэтому для расчета необходимо знать температуру по­верхности или закон изменения температуры поверхности с более нагре­той стороны. Как более нагретой, так и менее нагретой поверхности стенки приписывается роль отдельных очень тонких слоев. Так, индекс D x ₀ обозначает более нагретую поверхность, прилегающую к слою D x ₁. Индекс D x_{m +1} обозначает менее нагретую поверхность.

Методом конечных разностей наиболее часто пользуются для расче­та прогрева стен в печах периодического действия, где зачастую пред­ставляется возможным задать изменение температуры поверхности стен с внутренней стороны, поскольку температура собственно поверхности бывает близка к температуре раскаленных газов, заполняющих печь. Однако температуру поверхности можно определить и расчетным путем по выражению

(45)

где — температура поверхности D x_{m +1} в любой отрезок времени, К; Т ₂— температура газовой среды, омывающей стенку, К; a — коэффициент теплоотдачи от стенки к газу, Вт/(м²× К); l — коэффици­ент теплопроводности материала стенки, Вт/(м× К).

Температура в каждом слое стенки в определенный отрезок време­ни может быть определена как полусумма температур предыдущего и последующего слоев в предшествующий отрезок времени. Так

Таким образом, можно получить распределение температур в плос­кой однородной стенке. Однако если стенка состоит из двух различных материалов (например, шамот + тепловая изоляция), то в расчет необ­ходимо внести некоторые дополнения. Первую стенку х, как и в случае однородной стенки, следует разделить на определенное число элемен­тарных слоев D x, причем отрезки времени должны быть получены из уравнения

Эти отрезки времени должны быть, естественно, одинаковыми для первой и второй стенок, т. е. Dt_x = Dt_y =Dt.

Поэтому толщину элементарных слоев второй стенки у нельзя вы­бирать произвольно; ее следует определять по выражению

,

где а_х и а_y — коэффициенты температуропроводности первой и второй стенок, м²/с.

В пределах каждой из двух стенок температуру элементарных сло­ев определяют, как и для однородной стенки. Температуру поверхности также определяют по выражению (45).

В месте соприкосновения двух материалов температуру можно най­ти по выражению

(46)

где — температура в месте соприкосновения двух стенок в про­извольный отрезок времени Dt_n, К; и — температура соприкасающихся слоев соответственно первой и второй стенок в тот же отрезок времени Dt_n, К; R₁ = D x/l ₁ и R₂ = D x/l ₂ — тепловое сопротив­ление элементарных слоев первой и второй стенок.

Выяснив таким образом, каково распределение температур, можно путем простого арифметического усреднения получить среднюю темпе­ратуру прогретой стенки и определить то количество тепла, которое аккумулировано стенкой в процессе нагрева. Аккумулирование тепла кладкой является очень важной расходной статьей теплового баланса периодически действующих печей.