Теплообмен излучением между серыми поверхностями, разделенными лучепрозрачной средой

Угловые коэффициенты. На практике часто приходится решать задачу о том, какая доля тепла, излучаемого источ­ником, попадает на ту или иную поверхность. Для решения таких задач пользуются понятием углового коэффициента или коэффициента облученности.

Для примера рассмотрим электрическую печь, попереч­ный профиль которой изображен на рис. 30. Электрические нагревательные элементы расположены на своде излуча­ющем тепловой поток Q во всех направлениях. Предполо­жим, что свод плоский (подвесной конструкции). Допус­тим, свод излучает Q ₁и Q ₂соответственно на левую и правую боковую стенки и Q ₃ на лежащий на полу металл. Таким образом, на ле­вую стенку свод излучает часть тепла, равную Q ₁/ Q, на правую Q ₂/ Q и на металл Q ₃/ Q. Каждое из этих отно­шений называют угловым коэффициентом, который обычно обозначают буквой j. Если обозначить свод индексом 4, то отношение Q ₁/ Q = j_{4, 1} представляет собой угловой коэффициент от поверхности свода на левую стену. Соответствен­но Q ₃/ Q = j_{4, 3} — угловой коэффициент излучения от свода на металл и т. д. Таким образом, угловой коэффициент показывает, какая часть всей излучаемой тепловой энергии одного тела (поверхности) попадает на другое тело (другую поверхность).

Угловые коэффициенты связаны между собой опреде­ленными соотношениями. Рассмотрим основные из них.

1. Правило замыкаемости. Очевидно, что для замкну­той системы (рис. 30, а)

Разделив все члены этого уравнения на Q, получаем

Однако Q ₁/ Q = j_{4, 1} и т.д., следовательно:

Таким образом, сумма угловых коэффициентов для зам­кнутой системы равна единице, т. е. Sj = 1. Понятно, что никакое значение любого углового коэффициента никогда не может быть больше единицы. Действительно, не может же сумма Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ быть больше Q.

2. Правило взаимности. Установлено, что если две по­верхности F ₁и F ₂излучают друг на друга, то будет спра­ведливо равенство

где j_{1, 2} — угловой коэффициент с поверхности 1 на по­верхность 2; j_{2, 1} — то же, с поверхности 2 на поверхность 1.

Необходимо отметить, что возможны и такие случаи, когда лучистым теплом обмениваются элементы одной и той же поверхности. Если в приведенном выше примере свод был бы не плоским, а вогнутым (арочным), то наряду с излучением на другие поверхности свод излучал бы «сам на себя» (рис. 30, 6). В этом случае применимо другое уравнение:

где Q ₄ — тепловой поток, излучаемый всеми элементами поверхности свода друг на друга.

Соответственно угловой коэффициент j_{4, 4}, представля­ющий собой отношение Q ₄/ Q, также может быть назван угловым коэффициентом тела, излучающего само на себя.

Если в теплообмене излучением участвует вогнутая по­верхность, правило замыкаемости следует писать обяза­тельно с учетом углового коэффициента излучения само на себя, т.е. для нашего примера это правило можно записать следующим образом:

j_{4, 1} + j_{4, 2} + j_{4, 3} + j_{4, 4} = 1.

Угловой коэффициент j_{4, 4} для плоского и выпуклого тел равен нулю.

Рассмотрим несколько примеров определения угловых коэффициентов (рис. 31), имеющих определенное практи­ческое значение. Так, пример, показанный на рис. 31, a, достаточно точно соответствует соотношению для нагрева­тельной печи с плоским подвесным сводом. Пример на рис. 31, б представляет собой некоторое подобие взаимного рас­положения факела (поверхность F ₁) и обмуровки печи. Пример на рис. 31, в также представляет собой некоторое подобие взаимного расположения футеровки печи (F ₂)и поверхности металлической ванны в мартеновской или двухванной печи.

Для этих примеров угловые коэффициенты имеют сле­дующие выражения:

1. Две большие, близко расположенные друг к другу плоскости. Используя правило замыкаемости, можно написать j_{1, 1} + j_{1, 2} = 1 и j_{2, 2} + j_{2, 1} = 1; но если для плоскости j_{1, 1} = 0 и j_{2, 2} = 0, то j_{1, 2} = j_{2, 1} = 1.

2. Две концентрические шаровые поверхности или два одноосных длинных цилиндра. По правилу замыкаемости j_{1, 1} + j_{1, 2} = 1 и j_{2, 2} + j_{2, 1} = 1. Но j_{1, 1} = 0, следовательно, j_{1, 2} = 1.

Отсюда, по правилу взаимности F ₁j_{1, 2} = j_{2, 1} F ₂, можно получить, что j_{2, 1} = F ₁/ F ₂и, наконец, j_{2, 2} = 1—(F ₁/ F ₂).

3. Внутренняя поверхность F ₂сегмента длинного цилин­дра и плоскость F ₁, являющаяся основанием сегмента.

Рис. 31. Замкнутые системы из двух тел

Этот случай представляет собой некоторое подобие взаим­ного положения внутренней обмуровки печи и металла, заполняющего под печи. Повторив выкладки, приведенные для 2-го примера, получаем

j_{1, 2} = 1; j_{2, 1} = F ₁/ F ₂; j_{2, 2} = 1—(F ₁/ F ₂).

Угловыми коэффициентами, найденными расчетом, пользуются для решения практических задач.

Теплообмен излучением между серыми поверхностями, образующими замкнутую систему. Теплообмен между се­рыми поверхностями, образующими замкнутую систему, часто встречается на практике, причем теплообмен между серыми поверхностями, степень черноты которых меньше единицы, включает не только прямые потоки, но и отра­женные. Если в состоянии теплообмена находится несколь­ко серых поверхностей, то расчет значительно затруднен. Поэтому выведем общую формулу лучистого теплообмена только между двумя серыми поверхностями, воспользовав­шись для этого методом сальдо-потока, разработанным со­ветским ученым Г.Л. Поляком. Прежде всего уточним смысл некоторых терминов, для чего рассмотрим поверх­ность F, представленную на рис. 32, с температурой Т и степенью черноты e.

Рассмотрим, как происходит теплообмен у этой поверх­ности. К поверхности поступает падающий тепловой поток Q _пад. Часть его поглощается поверхностью F и, следова­тельно, поглощенный поток Q _погл = Q _падe. Другая его часть отражается, и, следовательно, отраженный поток

Поскольку тело нагрето (T > 0), оно излучает собствен­ные лучи, образующие тепловой поток собственного излу­чения

Сумма собственного излу­чения и отраженных потоков составляет эффективное излу­чение, т. е.

Тело не только поглощает тепло Q _погл, но и отдает теп­ло в виде собственного излу­чения Q _соб. Поэтому можно го­ворить о результирующем тепловом потоке, или, иначе, о сальдо-потоке:

(52)

Если Q _погл > Q _соб, то сальдо-поток имеет положитель­ное значение; если Q _погл < Q _соб, то Q имеет отрицательное значение. Найдем связь между сальдо-потоком Q и эффективным излучением. Используем приведенное выше выра­жение (52). Учтя, что

Q _погл = Q _пад – Q _отр и Q _соб = Q _эф – Q _отр,

и подставив выражения для Q _погл и Q _соб в уравнение (53), получаем

Q = Q _пад – Q _отр – Q _эф + Q _отр = Q _пад – Q _эф (52')

или Q _эф = Q _пад – Q.

Однако Q _пад = Q _погл/e и тогда Q _эф = (Q _погл/e) – Q.

По уровнению (52) Q _погл = Q + Q _соб. Следовательно:

и окончательно

(53)

Выражение (53) необходимо для дальнейших выкладок с целью получения расчетной формулы.

Так как мы выводим формулу для теплообмена излуче­нием между двумя серыми замкнутыми поверхностями, прежде всего установим, какое количество тепла первое тело излучает на второе. Если эффективный поток от по­верхности первого тела обозначим через Q _{1, эф}, то на второе тело будет падать часть этого потока, определяемая вели­чиной углового коэффициента с тела первого на тело вто­рое (j_{1, 2}), т.е. падающий тепловой поток на второе тело

Аналогично этому можно написать, что падающий теп­ловой поток на первое тело

Если Т ₂ > Т ₁, то количество тепла, которое первое тело будет получать от второго, соответствует сальдо-потоку Q ₁ равному разности падающих тепловых потоков, т.е.

Подставим в это выражение значение эффективных тепловых потоков по уравнению (53):

Но если рассматривается теплообмен между двумя те­лами в замкнутой системе, то сколько тепла отдаст второе тело, столько первое получит, т. е. Q ₁ = — Q ₂.

Заменив теперь в выражении (54) Q ₂ на — Q ₁ получаем одно уравнение с одним неизвестным Q ₁ которое и решим относительно этого неизвестного:

и подставить соответствующие выражения в уравнение (55), то получим

Следовательно, выражение для определения Q можно представить в виде

или

где С _пр — приведенный коэффициент излучения, определя­емый по уравнению

(56)

С использованием выражения (56) можно получить значения приведенных коэффициентов для конкретных слу­чаев, рассмотренных в предыдущем разделе.

Так, для двух близко расположенных бесконечных плоскостей (пример 1, j_{1, 2} = j_{2, 1} = 1)

Для примеров 2 и 3, когда j_{1, 2} = 1, а j_{2, 1} = F ₁/F₂, приведенный коэффициент излучения

Рассмотренный метод расчета применим для решения ряда технических задач теплообмена излучением в замк­нутом пространстве (например, печи) между двумя телами.

Защита от излучения с помощью экранов. Для того чтобы ослабить лу­чистый поток, падающий на обслужи­вающий печь персонал, применяют тепловые экраны, выполняемые обыч­но из тонкого стального листа.

Предположим, что температура ка­кой-либо тепло-излучающей поверхно­сти равна Т. Рядом с этой поверхно­стью помещен тонкий экран (рис.33).

Поверхность металлической обму­ровки печи и поверхность экрана обычно весьма окислены, и поэтому их можно считать аб­солютно черными, и тогда С = С _э= С ₀. Площадь излучаю­щей поверхности и площадь экрана равна F. Определим, насколько уменьшится тепловой поток излучением в резуль­тате применения экрана. Найдем прежде всего температу­ру экрана Т_э. Для двух близко расположенных плоскостей применима формула

Так как в нашем случае С 1 = С ₂ = С ₀, то С _пр = С ₀. Следо­вательно, тепловой поток, который получит экран от излу­чающей поверхности, равен, Вт

Но экран будет излучать в атмосферу цеха тепловой по­ток

Приравняем эти два выражения

и из этого равенства найдем, что

Используя полученное выражение для Т_э, можно опре­делить тепловой поток, излучаемый экраном в атмосферу цеха

Поскольку поверхность без экрана излучает тепловой поток Q ₁, равный

то можно сделать вывод, что применение экрана уменьши­ло лучистый тепловой поток в два раза, т. е.

Если установлено п экранов, то, рассуждая аналогич­ным путем, можно показать, что

где Q _n — тепловой поток, передаваемый излучением при наличии экранов; Q ₁— тепловой поток без экранов.

Если поверхность экранов не является черной, то при­веденный коэффициент e_пр для числа экранов, равного п, может быть определен из выражения

где e_{э, і} — степень черноты каждого экрана.