Миноры. Алгебраические дополнения

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается .

Так, если

, то , .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j – четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается .

или

Свойства определителя:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
2. Сложение и умножение определителей:

det (A ± B) = det A ± det B

det (AB) = detA× detB

1. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
2. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
4. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
5. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Поясним на примере определителя 3-го порядка.

Пример 1. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы .

Для разложения определителя легче взять первый столбец, так как в нем есть нулевые элементы. Это приведет к тому, что соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.