Десятичная система счисления.

Десятичная система счисления, в настоящее время является наиболее распространенной системой. Эта система, согласно историческим данным, появилась в Индии в IV веке нашей эры. В Европе эта система распространилась благодаря работам математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи) в XIII веке.

Итак благодаря p=10 получаем десятичную систему счисления, в которой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Любое число в этой системе, например

124.516, записывается в виде суммы

1·10²+2·10+4+5·10^-1+1·10^-2+6·10^-3.

Двоичная система счисления.

Двоичная система счисления является простейшей системой для изображения чисел в этой системе используются два символа 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Для проверки операций с числами в этой системе необходимо составить таблицы сложения и умножения, которые получаются очень просто

Таблица сложения в двоичной системе.

Таблица умножения в двоичной системе.

В современных компьютерах информация представлена в двоичной системе исчисления.

Приведем примеры выполнения операции сложения в двоичной системе.

Пример 1.

+ 111

Пример 2.

1010011.1101

+ 101011.0111

1111111.0100

В данных примерах мы применили перенос единицы из младшего разряда в старшие. Именно 1+1=10, пишем 0, единицу переноси в старший разряд

1+1+1=10+1+11, пишем 1, единицу переносим в старший разряд.

Рассмотрим как выполняется вычитание в двоичной системе. Найдем разность чисел.

Пример 3.

- 100111

Прокомментируем проведение вычисления. Для того, чтобы из нуля вычесть единицу, единицу третьего справа разряда записываем как 10 второго разряда. Затем единицу второго разряда записываем как десять первого разряда.

Итак получаем

10-1=1 - первый разряд

1-1=0 - второй разряд

В третьем разряде остается нуль. Единицу четвертого разряда превращаем в 10 третьего разряда. Все остальные вычисления очевидны.

Приведем примеры вычисления произведения чисел в двоичной системе.

Пример 1.

*101

+111

Пример 2.

1011.101

* 101.1

+ 1011101

1011101

111111.1111

Пример 3.

* 1100

+1001

Рассмотренные примеры не представляют не представляют трудностей для понимания. При выполнении вычислений, мы использовали таблицу сложения и умножения чисел в двоичной системе счисления.

Приведем пример деления чисел в двоичной системе счисления.

Мы видим, что в результате получается бесконечная периодичная дробь. Правило деления ничем не отличается от правила деления чисел в десятичной системе. Другая в данном случае только таблица умножения.

11101| 101

-101 101.11001(1.1.00)

- 101

- 101

-101

…………

Рассмотрим еще один пример

1000100| 101

- 101 1101

-101

-101

В этом примере мы тоже получаем бесконечную дробь.