Объединение и пересечение

Объединение множеств состоит из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А, В, a пересечение состоит из элементов, которые входят в оба эти множества.

Рис. 1

Образование объединения и пересечения иллюстрируется рисунком 1, на котором «круги» символизируют множества, над которыми производится операция, а закрашенная область отвечает множеству, которое получается в результате операции. Замечательно, что множества могут быть самой разнообразной природы, и тем не менее эти диаграммы очень удобны при изучении операций над ними. Обе рассматриваемые операции обладают следующими двумя свойствами:

(коммутативность), (1)

; (ассоциативность).

Коммутативность очевидна из определений (см. рис. 1).

Доказать ассоциативность вам поможет рисунок 2.

Рис. 2

Расстановка скобок предписывает порядок, в котором должны выполняться операции. Рисунок подсказывает, что в каком бы из указанных выше порядков ни выполнялись операции объединения, в результате получится множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из наших множеств. Аналогично в случае пересечения получается множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из наших множеств.

Ассоциативность позволяет, например, в случае объединения при многократном проведении операции над множествами не фиксировать при помощи скобок порядок, в котором производятся операции, и говорить просто об объединении множеств ; это множество состоит из элементов, содержащихся хотя бы в одном из множеств. Коммутативный же закон показывает, что можно как угодно менять порядок .

В числовом случае сложение и умножение связаны между собой следующим соотношением: а(b+с)=аb+ас (дистрибутивность умножения относительно сложения). Это соотношение позволяет выносить общий множитель за скобку и раскрывать скобки. Для множеств таких соотношений два:

(2)

На рисунке 3 приведены диаграммы, иллюстрирующие эти соотношения.

Для доказательства, например, первого из них достаточно заметить, что множество, стоящее и справа и слева, состоит из элементов, входящих в множество А и по крайней мере в одно из множеств В или С.

Рис. 3

Первое из соотношений (2) показывает, что любую последовательность объединений и пересечений можно преобразовать в такую последовательность этих операций, что сначала выполняются все пересечения, а потом объединения.