Выбор в условиях неопределенности

Понятие лотереи, предпочтения, определенные на пространстве лотерей, свойства предпочтений, функция, обладающая формой ожидаемой полезности, существование функции ожидаемой полезности. Парадоксы выбора в условиях неопределенности и их возможные объяснения. Денежные лотереи и отношение к риску. Мера степени несклонности к риску. Примеры выбора в условиях неопределенности: спрос на страховку и спрос на рисковый актив. Выбор в условиях неопределенности в терминах обусловленных товаров и полезность, зависящая от состояния. Задача выбора оптимального инвестиционного портфеля.

Отношение к риску. Меры неприятия риска. Теорема Пратта. Методы сравнительной статики при анализе инвестиционного поведения. Сравнение степени несклонности к риску для разных потребителей и для разных уровней богатства.

Теория ожидаемой полезности. Предположим, что выбор агента может привести к одному из целого ряда возможных исходов. При этом невозможно определить заранее (в момент выбора), к какому именно исходу он приведет. Множество всех возможных вариантов обозначим через С. Исходы могут представлять собой наборы товаров (и тогда С=Х); они могут принимать форму денежных выплат. Предположим, что множество исходов конечно; что вероятности любого исхода также известны. Для описания альтернативы, связанной с принятием решения в условиях риска, будем использовать концепцию лотереи.

Простой лотереей будем называть набор вероятностей L=(p_{1, ……,} p_s), где p_s – вероятность исхода s, p_s €[0, 1] и ∑ p_s =1.

Под сложной лотереей (α _1, α _2, α _{R, ….,} L_{1, ….} L_R) будем понимать такую лотерею, исходами которой являются простые лотереи, и каждая простая лотерея L_k имеет место с вероятностью α _k. Договоримся записывать образованную таким образом сложную лотерею как ∑ α _k L_k. Знаки сложения и умножения в этой записи условны и не соответствуют арифметическим операциям, а лишь отражают способ формирования сложной лотереи.

Предположим, что индивиду важны лишь итоговые вероятности любого исхода, а не то, как они получены. Таким образом, для потребителя любая сложная лотерея эквивалентна простой лотерее с таким же набором исходов, если каждый исход в сложной лотерее имеет такую же итоговую вероятность, как и в простой.

Предпочтения индивида определяются на пространстве ζ, где ζ - совокупность всех простых лотерей для данного набора исхода.

Будем как раньше считать, что предпочтения рациональны. Предположение непрерывности означает, что небольшие изменения вероятностей не изменят порядка предпочтений между двумя лотереями. Как следует из анализа выбора в условиях определенности, если предпочтения рациональны и непрерывны, то они представимы с помощью функции полезности.

Аксиома независимости. Если каждую из двух данных лотерей смешать с третьей, то порядок предпочтения этих смешанных лотерей будет таким же как и для исходных лотерей.

Аксиома независимости занимает центральное место в теории выбора в условиях неопределенности, поскольку позволяет отобразить предпочтения с помощью функции полезности, которая линейна по вероятностям. Такую функцию называют функцией ожидаемой полезности.

Функция полезности U: ζ → R имеет форму ожидаемой полезности, если каждому возможному исходу x_i можно присвоить число u_i таким образом, что любой простой лотерее L=(p_{1, ……,} p_s) соответствует U(L)= ∑ p_s u_s.

Функция U, обладающая этим свойством, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна.

Термин «ожидаемая полезность» отражает следующий момент: полезность лотереи U(L) можно рассматривать как ожидаемую величину полезностей исходов, то есть как математическое ожидание значений u_{i .}

Функция ожидаемой полезности существует, если предпочтения удовлетворяют введенным аксиомам.

В силу конечности множества исходов и аксиома непрерывности существует наилучшая и наихудшая лотереи.

Обычная функция полезности является ординальной и потому допускает любые положительные монотонные преобразования. В случае функции ожидаемой полезности можно говорить о единственности функции ожидаемой полезности с точностью до аффинных преобразований.