Разделив (3.15) на (3.14), получим

(3.16)

так как v и с – величины положительные, то изменение dF площади сечения вдоль сопла (по координате х) определяется отношением интенсивностей возрастания удельного объема газа и его скорости в процессе его расширения.

Если скорость увеличивается быстрее, чем удельный объем , то сопло должно суживаться ( < 0), если же < – расширяться ( > 0).

В этом, кстати, отличие от случая истечения несжимаемой жидкости (воды), удельный объем которой не меняется по длине сопла, (он не зависит от давления) и поэтому сопло для разгона жидкости всегда делают суживающимся.

При адиабатном равновесном расширении идеальных газов связь между давлением и объемом описывается уравнением (3.12): pv^k = const.

После дифференцирования уравнения адиабаты получаем:

(3.17)

Разделив обе части уравнения (3.9) на pv и умножив числитель и знаменатель правой части на с, найдем

(3.18)

Подставив в (3.16) вместо его выражение из (3.17) с учетом (3.18) получим

(3.19)

(из курса физики известно, что произведение kpv = kRT = a ², где а есть скорость звука в идеальном газе).

Чтобы наглядно представить смысл соотношения (3.19) поставим такой мысленный эксперимент. Пусть среда с параметрами р ₁, v ₁ через суживающееся сопло вытекает в объем с регулируемым давлением р ₂ (рис. 3.3).

Давление р ₁постоянно (например, это давление в заводской сети сжатого воздуха). Давление р ₂ будем регулировать вентилем. Когда вентиль полностью закрыт, среда через сопло не течет, т.е. m = 0 и р ₂ = р ₁. По мере открытия вентиля давление в сосуде будет уменьшаться, перепад давлений Δ р = р ₁ – р ₂ будет расти, в соответствии с ним будет увеличиваться и располагаемый теплоперепад Δ h ₀ Газ будет вытекать из сопла с большей скоростью с ₂ (см. формулу (3.12)).

Рис. 3.3. Схема истечения среды через суживающееся сопло в объем с регулируемым давлением при р ₂/ р ₁ > β _кр

Из курса физики известно, что возмущение давления распространяется со скоростью звука (собственно, звук и есть колебания давления). Приоткрывая вентиль, мы уменьшаем около него давление, и эта волна давления распространяется от вентиля к выходному срезу сопла, где установится такое же давление, как и у вентиля. При этом увеличится скорость истечения. Наконец, наступит такой момент, когда скорость истечения газа из сопла станет равной скорости звука в вытекающей среде. Импульс пониженного давления, распространяющийся со скоростью звука, не сможет проникнуть в сопло, т.е. внутри сопла изменения скорости потока не будет, как бы мы не открывали вентиль и не снижали давление р ₂. Отношение давления на срезе суживающегося сопла к давлению перед соплом, при котором скорость истечения становится равной скорости звука в вытекающей среде, называется критическим

В качестве первого приближения можно принять β _кр = 0, 5.Более точно ее

можно посчитать по специальным формулам.

Если р ₂ < р _2кр, то перепад давлений р _2кр – р ₂ срабатывается уже за пределами суживающегося сопла в виде ударных волн, или, как говорят газодинамики, «скачков уплотнений» без должного эффекта (рис. 3.4а).

Рис. 3.4. Схема истечения среды через суживающееся сопло (а)

и сопло Лаваля (б) при β = (р ₂/ р ₁) < β _кр

Способ использования энергии расширения газа до давления меньше критического и получения сверхзвуковой скорости вытекает из формулы (3.19): если с > а, то для увеличения скорости (dc > 0) нужно увеличивать площадь поперечного сечения сопла (dF > 0). Дело в том, что при с > а удельный объем газа настолько сильно увеличивается в процессе его расширения, что это требует увеличения площади поперечного сечения, несмотря на увеличение скорости.

Впервые на это обратил внимание шведский инженер Лаваль в 80-х годах XIX века. Он предложил сужающееся сопло продолжить расширяющимся (рис. 3.4 6) чтобы дать возможность потоку плавно расширяться в нем от р _2кр до р ₂ без скачков уплотнений. Сейчас сопла Лаваля применяют в реактивных двигателях самолетов и ракет. Угол расширения не должен превышать 10–12°, чтобы не было отрывов потока от стен.

Расход газа от добавления расширяющейся части сопла не увеличивается (он по-прежнему будет определяться величиной скорости звука в самом узком «критическом» сечении – см. рис. 3.5). А вот скорость истечения из такого сопла может существенно превышать скорость звука. Ее по-прежнему можно рассчитывать по формулам (3.11) – (3.12), а площадь выходного сечения – по формуле (3.14).

Рис. 3.5. Зависимость расхода рабочего тела через сопло от перепада давлений в нем

Действительный процесс истечения

Если потери энергии на трение при движении пара по каналу и теплоотдача к стенкам сопла пренебрежимо малы, то процесс истечения протекает при постоянной энтропии и скорость истечения рассчитывается по формуле (3.12)

Если значения энтальпий подставлять в эту формулу в кДж/кг, то выражение для скорости истечения примет вид

м/с. (3.20)

В реальных условиях вследствие трения потока о стенки канала процесс истечения оказывается неравновесным, поэтому энтропия рабочего тела возрастает. При том же перепаде давлений р ₁ – р ₂ срабатываемая разность энтальпий h ₁ – h ₂ = ∆ h получается меньше, чем ∆ h ₀, в результате чего уменьшается и скорость истечения с ₂

м/с. (3.21)

Коэффициент j_с называется скоростным коэффициентом сопла. Современная техника позволяет создавать хорошо спрофилированные и обработанные сопла, у которых j_с = 0, 95-0, 98.

Вопросы для самопроверки

1. Что происходит с давлением при торможении? Где этот эффект используется?

2. Какие каналы называются соплами?

3. Какие каналы называются диффузорами?

4. Как скорость потока связана с его давлением?

5. Какую форму должен иметь канал, чтобы обеспечить сопловое или диффузорное течение газа при дозвуковых и при сверхзвуковых скоростях?

6. Что называется критическим отношением давлений и критической скоростью?

75. Что называется адиабатным дросселированием жидкости или газа, в каких случаях на практике оно имеет место?