Численные методы решения дифференциальных уравнений

Метод Эйлера. Этот метод применяется в основном при проведении ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в его основу, являются исходными при разработке многих других методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение (1) и заданы начальные условия (2),

Требуется найти решение у= у(х) уравнения (1) на отрезке , удовлетворяющее условию (2).

Будем предполагать, что на отрезке [ a; b ], где ищется решение, выполнены все условия, обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши.

Разобьем отрезок [ a; b ] точками , где ‑ шаг интегрирования), на n равных отрезков.

Проинтегрируем уравнение (1) по отрезку

и получим:

.

Если шаг h достаточно мал, то можно считать, что

и тогда:

или ,

где

.

Точно так же, интегрируя по отрезку , получим:

, где .

Вообще:

,

где .

обозначим , тогда:

(3)

Реализация метода Эйлера сводится к последовательному вычислению разностей искомой функции и нахождению приближенных значений

в точках .

Геометрический смысл метода состоит в том, что интегральная кривая

заменяется приближенно ломаной , звенья которой имеют постоянную проекцию, равную h.

Первое звено будет касаться интегральной кривой в точке , остальные ‑ “соседних” интегральных кривых, проходящих через точки (рис. 1).

При вычислении последовательных значений

будет происходить накопление погрешностей, для приближенной оценки которых применяют двойной пересчет с шагом h и .

Если ‑ приближенное значение решения, полученное при расчете с шагом h

‑ улучшенное значение, полученное при шаге

и ‑ точное значение решения,

то абсолютную погрешность определяют из приближенного равенства

. (4)

Пример. Пусть дано уравнение

(5)

и заданы начальные условия .

Выберем шаг интегрирования h=0, 2.

Результаты вычислений будем заносить в таблицу.

В первой строке (k=0) записываются начальные значения .

По ним вычисляют , а затем .

Тогда по формуле (3) при k=0, получим

.

Значения и записывают во второй сроке k=1.

Затем вычисляют:

и

.

По формуле (3) при k=1 получим:

.

Дальнейшие вычисления выполняются аналогично.

Таблица A

k					Точное решение
	0, 0	1, 0000		1, 0000	0, 2000	1, 0000
	0, 2	1, 2000	0, 3333	0, 8667	0, 1733	1, 1832
	0, 4	1, 3733	0, 5928	0, 7805	0, 1561	1, 3416
	0, 6	1, 5315	0, 7846	0, 7458	0, 1492	1, 4832
	0, 8	1, 6811	0, 9532	0, 7254	0, 1451	1, 6124
	1, 0	1, 8269				1, 7320

В последнем столбце таблицы приведены значения точного решения . Сравнивая результаты, замечаем, что погрешности вычисляемых значений решения возрастают. Абсолютная погрешность последнего значения составляет 0, 0917, относительная погрешность равна примерно 5%.