Усовершенствованный метод Эйлера.

Пусть дано дифференциальное уравнение (1) и заданы начальные условия (2). Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке . Разобьем отрезок на n равных частей точками ,

где ‑ шаг интегрирования.

Суть усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем.

Найдем вспомогательное значение искомой функции

в промежуточной точке при помощи формулы

. (6)

Затем вычислим значение и, наконец, получим:

. (7)

Геометрический смысл решения иллюстрируется рисунком 2.

Пример. При помощи усовершенствованного метода Эйлера найдем решение уравнения

на отрезке , если известно, что а .

Результаты вычислений будем записывать в таблицу 2.

В первой строке таблицы записываем х₀ = 0, у₀ = 1. Вычисляем: для по формуле (6) находим

.

Затем вычисляем и по формуле (7) имеем:

.

Во вторую строку таблицы записываем . Дальнейшие вычисления проводятся аналогично.

Таблица B

k							Точное решение
			0, 1	0, 1	1, 1	0, 1836	1, 00
	0, 2	1, 1836	0, 0846	0, 3	1, 2682	0, 1590	1, 1832
	0, 4	1, 3426	0, 0747	0, 5	1, 4173	0, 1424	1, 3416
	0, 6	1, 4850	0, 0677	0, 7	1, 5527	0, 1302	1, 4832
	0, 8	1, 6152	0, 0625	0, 9	1, 6777	0, 1210	1, 6124
	1, 0	1, 7362					1, 7320

Абсолютная погрешность значения равна 0, 0042, относительная погрешность менее 0, 3%.

Для получения оценки погрешности часто выполняют двойной пересчет: с шагом h получают и с шагом получают .

Если - точное значение решения в точке , то погрешность для оценивается при помощи равенства

. (8)

Метод Рунге–Кутта. Пусть дано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (2).

Если ‑ приближенное значение решения уравнения в точке , то значение в точке х_i+1 = х_i + h будет равно:

. (9)

Для определения разложим функцию в ряд Тейлора:

Производные ,... могут быть найдены последовательным дифференцированием уравнения (1). Можно показать, что с точностью до членов четвертого порядка значение определится по формуле

, (10)

где

(11)

Таким образом, применение метода Рунге–Кутта сводится к последовательному вычислению значений:

(12)

(13)

и к нахождению значений по (9)

.

Все вычисления удобно выполнять по определенной схеме (см. таблицу 3).

В первый раздел таблицы сначала записывают начальные значения х₀, у₀, а затем результаты вычислений по формулам (12) и (13). Аналогично заполняются и второй раздел таблицы , если считать, что начальной точкой является точка .

Оценка погрешностей полученных значений решения сложна. На практике обычно пользуются двойным пересчетом при шаге и шаге .

Абсолютная погрешность находится с помощью равенства

, (14)

где - значение точного решения в точке и - приближенные значения, полученные соответственно при шаге и шаге .

Если - заданная точность решения, то n - число точек деления выбирается так, чтобы шаг удовлетворял условию

. (15)

Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение

с начальными условиями .

Найдем решение уравнения на отрезке с точностью до .

Выберем шаг, используя условие (15),

.

Получим .

Возьмем и разобьем отрезок на шесть равных частей точками:

Найденные значения заносим в таблицу 4. Вычисления будем проводить с двумя запасными цифрами. Точным решением уравнения является функция

.

Таблица C

i	x	y
					2
0					2
					2
1					2
2			...	...	...

Таблица D

i	x	y
		1, 5000	1, 5000	0, 3750	0, 3750
	0, 125	1, 6875	1, 5625	0, 3906	0, 7812
	0, 125	1, 6953	1, 5703	0, 3926	0, 7852
	0, 25	1, 8923	1, 6426	0, 4106	0, 4106
					0, 3920
	0, 25	1, 8920	1, 6420	0, 4105	0, 4105
	0, 375	2, 0973	1, 7223	0, 7306	0, 7612
	0, 375	2, 1073	1, 7323	0, 7331	0, 7662
	0, 50	2, 3251	1, 8251	0, 4562	0, 4562
					0, 4323
	0, 50	2, 3243	1, 8243	0, 4561	0, 4561
	0, 625	2, 5523	1, 9283		0, 9626
	0, 625	2, 5652	1, 940	0, 4850	0, 9700
	0, 75	2, 8093	2, 0593	0, 5148	0, 5148
					0, 4841
	0, 75	2, 8084	2, 084	0, 5146	0, 5146
		3, 0657	2, 1908	0, 5477	1, 0854
	0, 875	3, 0833	2, 2073	0, 5518	1, 1036
	1, 00	3, 3602	2, 3602		0, 5900
					0, 5506
	1, 00	3, 3590	2, 3590	0, 5898	0, 5898
	1, 125	3, 6529	2, 5259	0, 6322	1, 2644
	1, 125	3, 66751	2, 5501	0, 6375	1, 2750
	1, 25	3, 9965	2, 7265	0, 6866	0, 6866
					0, 6360
	1, 25	3, 9950	2, 7450	0, 6862	0, 6862
	1, 375	3, 3381	2, 9561	0, 7408	1, 4816
	1, 375	4, 3654	2, 9904	0, 7476	1, 4952
	1, 50	4, 7426	3, 2426	0, 8106	0, 8106
					0, 7256
	1, 50	4, 7406