Погрешность решения. Исправление значений переменных.

Если при подстановке найденных значений в систему получаются значительные невязки d₁, d₂, d₃, то эти значения переменных подлежат уточнению.

Пусть приближенные значения переменных, найденных при решении системы (1).

Подставив их в систему, запишем:

Положим:

где e₁, e₂, e₃ – погрешности решений.

Подставив выражения для х₁, х₂, х₃ в систему (1), получим:

Заменив суммы первых четырех членов по формулам (8), придем к системе уравнений:

Неизвестными будут погрешности e₁, e₂, e_{3 .} Система (10) отличается от системы (1) лишь столбцом свободных членов. Ее решение может быть найдено по схеме единственного деления.

Пример. Решим методом Гаусса систему уравнений:

2, 7х₁ + 1, 2х₂ + 3, 4х₃ – 7, 6 = 0,

1, 7х₁ - 3, 2х₂ +4, 6х₃ – 11, 2 = 0,

1, 1х₁ + 4, 1х₂ + 0, 8х₃ + 1, 1 = 0;

проведем проверку найденного решения и уточним значения переменных.

1. Приводим систему к треугольному виду.

По формулам (7) находим значения неизвестных х₁, х₂, х₃

Для определения невязок найденные значения неизвестных подставляем в исходную систему уравнений.

2, 7 * 1, 98 - 1, 2 *0, 99 + 3, 4 * 1, 01 – 7, 6 = - 0, 008,

1, 7 * 1, 98 - 3, 2 *0, 99 +4, 6 * 1, 01 – 11, 2 = -0, 020,

1, 1 * 1, 98 + 4, 1 *0, 99 + 0, 8 * 1, 01 + 1, 1 = 0, 270;

получены невязки:

d₁ = -0, 008, d₂ = -0, 020, d₃ = 0, 270.

Для вычисления поправок e₁, e₂, e₃ решаем систему уравнений (12), в которой столбец свободных членов заменили столбцом невязок.

Вычисление неизвестных e₁, e₂, e₃ проводим по тем же правилам, что и при решении исходной системы уравнений.

Определяем значения:

e₁ = 0, 02; e₂ = -0, 01; e₃ = -0, 01.

Исправленные значения неизвестных будут соответственно равны:

Итак, получили х₁ = 2, 00; х₃ = -1, 00; х₃ = 1, 00.

При заключительной проверке путем подстановки исправленных значений переменных получим верные числовые равенства.