Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Постановка задачи. Численное дифференцирование






Лекция № 7

Численное дифференцирование

Постановка задачи

При решении практических задач очень часто приходится вычислять производные функции y = f(x) различных порядков. Если функция задана аналитически и ее аналитическое выражение не слишком сложно, то задача решается обычными методами математического анализа.

К численному дифференцированию приходится обращаться тогда, когда функция задана таблицей или когда зависимость у от х имеет весьма сложное аналитическое выражение.

В первом случае методы математического анализа просто неприменимы, а во втором – вычисление производных связано со значительными трудностями. В этих случаях обычно производится замена данной функции, чаще всего интерполяционным многочленом, пользуясь тождеством:

f(x) = Pn(x) + Rn(x), (1)

где Pn(x) – интерполяционный многочлен,

Rn(x) – остаточный член интерполяционной формулы.

Предполагая, что f(x) имеет производные до порядка k включительно, дифференцируют тождество (1) и находят производные

(2)

В качестве приближенных значений этих производных берут первые слагаемые в правой части равенств:

(3)

 

Остаточные члены выражают погрешность этих приближенных равенств.

При замене функции f(x) интерполяционным многочленом Рп(х) предполагается, что остаточный член Rп(х) достаточно мал, но из этого совсем не следует, что будут достаточно малыми.

Погрешности, получаемые при вычислении производных (особенно высших порядков), могут оказаться очень большими.

Обозначим через rk(x) (k=1, 2, …, n) остаточный член формул численного дифференцирования, т.е.

(4)

Пользуясь выражением для остаточного члена интерполяционной формулы, можно получить

 

В частности, при x=xi получим:


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал