Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона
|
|
Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] задана таблицей значениями в п+1 равноотстоящей точке
| хi | х0 | х1 | х2 | … | хn |
| yi | у0 | у1 | у2 | … | уn |
где xi = x0 + ih (i=0, 1, …n),
требуется вычислить значение производной для значения х, близкого к х0. Функцию f(x) заменим приближенно первым интерполяционным многочленом Ньютона, т.е.
(5)
где 
.
Раскрыв скобки в числителе, формулу (5) можно записать в виде:
(6)
Заметим, что производная
Дифференцируя равенство (6) дважды, получим:
(7)
и
(8)
Таким же образом можно вычислить и производные любого порядка.
Для того чтобы получить значение производных в точке х, лежащей в конце таблицы, следует воспользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона. Применяя тот же прием, получим:
(9)
(10)
Формулы приближенного дифференцирования значительно упрощаются, если значения производных вычисляются в узлах интерполирования. Положив t=0 (x=x0), получим:
(11)
(12)