формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона

Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] задана таблицей значениями в п+1 равноотстоящей точке

где x_i = x₀ + ih (i=0, 1, …n),

требуется вычислить значение производной для значения х, близкого к х₀. Функцию f(x) заменим приближенно первым интерполяционным многочленом Ньютона, т.е.

(5)

где .

Раскрыв скобки в числителе, формулу (5) можно записать в виде:

(6)

Заметим, что производная

Дифференцируя равенство (6) дважды, получим:

(7)

и

(8)

Таким же образом можно вычислить и производные любого порядка.

Для того чтобы получить значение производных в точке х, лежащей в конце таблицы, следует воспользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона. Применяя тот же прием, получим:

(9)

(10)

Формулы приближенного дифференцирования значительно упрощаются, если значения производных вычисляются в узлах интерполирования. Положив t=0 (x=x₀), получим:

(11)

(12)