Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение

2.1. Для задания множеств применяется еще один способ – с помощью теоретико-множественных операций, позволяющих строить из одних множеств другие. Рассмотрим несколько таких операций и их представления диаграммами Венна.

I. Пересечением двух множеств A и B называется множество М = A ∩ B, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам: и множеству A, и множеству B. Пересечение – это общая часть двух множеств (область D на рисунке 1.2). Символ ∩ означает операцию пересечения множеств. Утверждение a Î A ∩ B означает истинность конъюнкции (a Î A) & (a Î B). Очевидны соотношения A ∩ B Í A, A ∩ B Í B. Аналогично определяется пересечение трех или более множеств (показано частой штриховкой на рисунке 1.3).

Термин «пересечение» – по существу геометрического происхождения. Пересечением прямой и плоскости, если прямая не параллельна плоскости, является их единственная общая точка. Если прямая и плоскость параллельны, то их пересечение не содержит ни одной точки, т.е. пусто. Если же прямая имеет с плоскостью более одной общей точки, то, как известно, она целиком лежит на плоскости, и их пересечение совпадает с множеством точек этой прямой. В этом случае множество точек прямой есть подмножество множества точек плоскости.

II. Объединением двух множеств A и B называется множество М = A È B, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B (т.е. А или В или обоим). При этом каждый элемент входит в объединение один раз. Символ È означает операцию объединения множеств (области С, D, E вместе на рисунке 1.2). Утверждение a Î A È B означает истинность дизъюнкции (a Î A) (a Î B). Очевидны соотношения A Í A È B, B Í A È B. Объединение трех и более множеств определяется аналогично (показано редкой штриховкой на рисунке 1.3).

III. Разностью М = A\B двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов A, не принадлежащих B. Иначе говоря, чтобы получить разность, нужно из множества A удалить его общие элементы с множеством B (область C на рисунке 1.2). Утверждение a Î A \ B означает истинность конъюнкции (a Î A) & (a Ï B). Очевидно соотношение A \ B Í A.

Аналогично определяется разность B \ A – область E на рисунке 1.2.

IV. Симметрическая разность – М = А Δ В – множество элементов, которые принадлежат ровно одному из двух множеств A и B (можно рассматривать как объединение двух разностей): А Δ В = (A \ B) È (B \ A). На рисунке 1.2 А Δ В = С È Е.

Симметрическую разность называют также суммой по модулю 2. Очевидно соотношение: А Δ В = (A È В) \ (A ∩ B).

На рисунке 1.4 – частные случаи общей картины, изображенной на рисунке 1.2.

Рисунок 1.4

Если С = A \ B = Æ, т.е. A Í B, то D = A, E = B \ A, (рисунок 1.4, а).

Если D = A ∩ B = Æ, то С = A, E = B (рисунок 1.4, б).

Если E = B \ A = Æ, т.е. B Í A, то С = A \ B, D = B (рисунок 1.4, в).

При равенстве множеств A и B и имеем C = E = Æ, D = A = B (рисунок 1.4, г).

V. Дополнение. Пусть A – некоторое множество в универсальном множестве U. Дополнением множества A называется множество, состоящее из всех элементов множества U, не принад-лежащих A. Иными словами, можно выразить дополнение через операцию разности: = U \ A (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5

Замечание. Для применения операций пересечения, объединения, разности, симметрической разности множеств A и B нет необходимости указывать универсальное множество, поскольку результаты этих операций, в отличие от операции дополнения, являются подмножествами объединения A È B.