Примеры. 1. Пересечением множества 5-этажных домов и множества кирпичных домов является множество кирпичных пятиэтажек.

1. Пересечением множества 5-этажных домов и множества кирпичных домов является множество кирпичных пятиэтажек.

2. Пусть в множестве учеников школы (оно будет служить универсальным множеством U) A – подмножество учащихся, занимающихся спортом; B – подмножество учащихся, интересующихся музыкой; C – подмножество мальчиков. Тогда пересечению A ∩ B принадлежат все учащиеся, увлекающиеся и спортом, и музыкой; в пересечение A ∩ C входят мальчики, увлекающиеся музыкой; объединение A È B – множество учащихся, увлекающихся или спортом, или музыкой, или тем и другим; дополнение – множество школьниц; разность C \ B – множество мальчиков, не интересующихся музыкой; разность B \ C – множество девочек, увлекающихся музыкой.

3. Пусть множество натуральных чисел A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} – делители числа 24;
B = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} – делители числа 90. Тогда пересечение
A ∩ B = {1, 2, 3, 6} – множество общих делителей этих чисел (6 – наибольший общий делитель).

С помощью введенных операций можно образовывать более сложные комбинации. Например, формула (A \ B)∩ C представляет множество элементов множества A, не принадлежащих B, но принадлежащих C (рисунок 1.6); множество A È (B ∩ C) содержит все элементы, которые принадлежат A, а также общие элементы множеств B и C (рисунок 1.7).

Рисунок 1.6 Рисунок 1.7

Упражнение. Сформулируйте словами, какие подмножества универсального множества U учеников школы (пример 2) представляются формулами , C \ (AÈ B), (A ∩ B) \ .

2.2. На диаграммах Венна легко проверить соотношения:

A ∩ B Í A Í A È B;

A \ B Í A Í A È B;

если A \ B = Æ, то A Í B.

Отдельно отметим численное соотношение между конечными множествами A и B:

½ A È B ½ = ½ А ½ + ½ B ½ – ½ А ∩ B ½,

в частности, если A ∩ B = Æ, то A È B = ½ А ½ + ½ B ½, поскольку ½ Æ ½ = 0.

Перечислим основные свойства операций È, ∩, ‾ ‾ над множествами. Пусть U – универсальное множество, A, B, C – его подмножества, Æ – пустое множество. Равенства 1–10, 15–18 относятся к операциям объединения и пересечения; равенства 11–14 и 19–21 – к операции дополнения.

1. A È B = B È А. 2. A ∩ B = B ∩ A.

3. (A È B) È C = A È (B È C). 4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

5. (A È B) ∩ C = (A ∩ C) È (B ∩ C). 6. (A ∩ B) È C = (A È C) ∩ (B È C).

7. A È A = A. 8. A ∩ A = A.

9. A È (A ∩ B) = A. 10. A ∩ (A È B) = A.

11. = ∩ . 12. = È .

13. A È = U. 14. A ∩ = Æ.

15. A È Æ = A. 16. A ∩ Æ = A.

17. A È U = U. 18. A ∩ U = A.

19. = Æ. 20. = U. 21. = A.

Свойства 1, 2 – переместительные законы, свойства 3, 4 – сочетательные законы. Свойства 5, 6 – взаимные распределительные законы каждой из операций ∩, È относительно другой. Свойства 9, 10 – законы поглощения. Свойства 11, 12 называются законами де Моргана для множеств (дополнение к объединению равно пересечению дополнений; дополнение к пересечению равно объединению дополнений). Свойства 13–20 – соотношения с универсальным и пустым множествами.

Приведем также некоторые свойства операции разности множеств:

A \ B = A ∩ ; A \ A = Æ; A \ Æ = A; A \ U = Æ; U \ A = .