Доказательство.

: , , т.ч. , :

: , , т.ч. , :

Следовательно, , по определению

№2. Свойства б/м функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.

Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .

Свойства:

1) - б/м при , - число: - б/м при

Пусть , тогда . Выберем , .

2) и б/м при , - тоже б/м при

Пусть , . Тогда , т.е. .

3) и б/м при , - тоже б/м при

Пусть , . Тогда , т.е.

4) - б/м при , a ограниченная - б/м при

Пусть , . Выберем , ,

Пусть существуют конечные пределы , . Тогда:

Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда . Обозначим , , . Тогда, , т.е. , .

Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда , . Обозначим , , . Тогда, , т.е , .

,

Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда , . Обозначим , , . Тогда, , т.е. , .

Теорема (о переходе к пределу в неравенствах): Пусть существуют конечные пределы в некоторой окрестности т. , . Тогда: если , то .

Доказательство. , , тогда: ,

Теорема (о пределе промежуточной функции): Если в некоторой окрестности т. и , то .

Доказательство. Пусть , тогда по теореме о переходе к пределу в неравенствах: , ,

, ,

Следовательно, и .

№3. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Асимптотическое разложение непрерывной функции

Функция называется непрерывной в т. , если .

Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.

Теорема (о переходе к пределу, под знаком непрерывности): Если функция непрерывна в т. , то .

Доказательство. Т.к. и функция непрерывна, т.е. . Следовательно .

Теорема (о непрерывности сложной функции): Пусть непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. . Тогда сложная функция непрерывна в точке

Доказательство.

Теорема: Пусть и непрерывны в т. , тогда , , () тоже непрерывны в этой точке.

Доказательство: основано на свойствах предела. Т.к. функция непрерывна, то .

Теорема (асимптотическое разложение непрерывной функции): Если функция непрерывна в т. , то в некоторой окрестности этой т., функция представима в виде: .

Доказательство. Рассмотрим . По теореме об асимптотическом разложении функции имеющей предел: . Т.к. функция непрерывна, то , т.е. .

№4. Эквивалентно бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б/м. Замена отношения б/м эквивалентными при вычислении пределов.

Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .

Функции и называются эквивалентными б/м при , если и обозначаются .

Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы была б/м более высокого порядка чем и .