Свойства определителей.

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.

Определение 1. Матрицейиз m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1, …, m; j-номер столбца, j=1, …, n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Определение 2. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Свойства определителей.

При транспонировании матрицы определитель не меняется.

При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то

.

Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

- две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка: .

Этой матрице соответствует число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы .

Для обозначения определителя используют символы: , .

Определение 3. Определителем 2-го порядка матрицы называется число:

. (1)

Например, .

Введем понятие определителя 3-го порядка. Пусть .

Определение 4 Минором элемента матрицы называется определитель, который получается из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца. Минор элемента обозначается символом .

Например, для элемента матрицы минором служит определитель .

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, умноженный на : .

В качестве примера вычислим алгебраическое дополнение элемента матрицы

.

В нашем случае , вычеркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим

, .

Определение 6. Определителем 3-го порядкаматрицы называется число

.

Поясним это определение на примере: , тогда

Для вычисления определителя 3-го порядка можно использовать, так называемое, «правило треугольника», а именно:

Например,

.