Свойства операций над множествами

(1.2)

(1.3)

Закон поглощения. (1.5)

Закон двойного отрицания (1.7)

(1.8)

Практические задания

1.1. Найдите все подмножества множества {1, 2, 3}, , {x}, {1, 2}.

1.2. Докажите, что множество {1, 2,..., n} имеет 2ⁿ раз­личных подмножеств.

1.3. Сколько подмножеств из k элементов имеет множество из n элементов ()?

1.4. Какие из утверждений верны для всех A, B и С:

1) Если ;

2) Если ;

3) Если ;

4) Если ;

5) Если .

1.5. Найдите AÇ B, AÈ B, A\B, B\A при:

1) A={-1, 0, 3, 4}, B={0, 4, 6};

2) A=[0, 2], B=[1, 5];

3) A=[0, 2], B={0, 4, 6};

4) A=]- ; 7], B=]5, 8[;

5) A=[1, 3[È ]5, 7], B=[2, 6];

6) A={ x | x делится без остатка на 4 и x £ 40},

B={ x | x делится без остатка на 5 и x £ 40};

7) A={ x | x делится без остатка на 4 и x £ 40},

B={ x | x делится без остатка на 6 и x £ 40};

8) A=[4, 6], B=(3, 5)È [6, 8].

1.6. Пусть A - множество решений уравнения f(x:)=0, B - множество решений уравнения g(x)=0. Выразите через А и В множество решений:

1) уравнений

a) f(x)g(x)=0; б)

2) системы уравнений

1.7. Как можно выразить множество действительных корней уравнения f(x)=0, если известны множества X={x| f(x)> 0} и Y={x| f(x)< 0}?

1.8. Каким условиям должны удовлетворять множества А и В, чтобы:

1) АÇ В=АÈ В; 2) (А\В)È В=А; 3) (AÈ B)\B=A?

1.9. Докажите, что для произвольных множеств A, В и С справедливы следующие равенства:

1) AÈ (BÇ C)=(AÈ B)Ç (AÈ C);

2) AÇ (BÈ C)=(AÈ B)Ç (AÈ C);

3) AÈ (AÇ B)=A;

4) AÇ (AÈ B)=A;

5) AÈ Æ =A;

6) AÇ Æ =Æ;

7) (A\B)\C=(A\C)\B;

8) (A\B)\C=(A\C)\(B\C);

9) ;

10) A\(A\B)=AÇ B;

11) (BÈ C)\A=(B\A)È (C\A);

12) BÈ (A\B)=AÈ B;

13) BÇ (A\B)=Æ;

14) A\(BÈ C)=(A\B)Ç (A\C);

15) A\(BÇ C)=(A\B) È (A\C);

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) .

1.10. Докажите, что для любых подмножеств A и B универ­сального множества U справедливы следующие равенства:

1) AÇ U=A;

2) AÈ U=U;

3)

4)

5)

6)

7) ;

8) ;

9)

10) ;

11)

12)

13)

14)

1.11. Верны ли следующие равенства для произвольных мно­жеств А, В, С? Если не верны, то в какую сторону имеет место включение?

1)

2)

3) ;

4)

5)

1.12. Докажите, что для любых множеств A, B и C:

1) ;

Указание: чтобы доказать данное утверждение достаточно доказать, что выполняется:

и, .

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) ;

31) .

1.13. Докажите, что для любых подмножеств A и В уни­версального множества U:

1)

2)

3)

4)

1.14. Докажите тождество:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

1.15. Доказать, что:

a) ;

б) .

1.16. Доказать, что:

1)

2)

3)

1.17. Определить операции через:

1)

2)

3)

1.18. Доказать, что нельзя определить:

6) \ через

7) через

1.19. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 - не­мецкий, 42-французский, 8-английский и немецкий, 10- английский и французский, 5 - немецкий и французский и 3 сту­дента изучают все три языка. Сколько студентов не изучают ни одного языка; изучают только французский язык?

1.20. Из 100 студентов 24 не изучают никакого языка, 26 - немецкий, 48 - французский, 8 - французский и английский, 8 - немецкий и французский, 18 - только немецкий, 23 - немец­кий, но не английский. Сколько студентов изучают только ан­глийский язык?

1.21. Решить систему уравнений

, где A, B и С – данные множества и .

1.22. Решить систему уравнений

, где A, B и С – данные множества и .

1.23. Решить систему уравнений

, где A, B и С – данные множества и .

1.24. Доказать, что

1)

2) любое уравнение относительно множества X, в правой части которого стоит , равносильно уравнению , где А и В – некоторые множества, в записи которых не содержится символ Х;

3) система уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ; при этом условии решением системы является любое множество Х такое, что

4) описать метод решения системы уравнений с одним неизвестным.

1.25. Пользуясь методом задачи 1.24. решить следующие системы:

1) ;

2) ;

3) .

При каких А, В и С эти системы имеют решение?