Показатели качества подбора модели

Качеством модели регрессии называется адекватность построенной модели исходным (наблюдаемым) данным.

Для оценки качества модели регрессии используются специальные показатели.

Качество линейной модели парной регрессии характеризуется с помощью следующих показателей:

1) парной линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

где G(x) – среднеквадратическое отклонение независимой переменной;

G(y) – среднеквадратическое отклонение зависимой переменной.

Также парный линейный коэффициент корреляции можно рассчитать через МНК-оценку коэффициента модели регрессии по формуле: Парный линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты связи между исследуемыми переменными. Он рассчитывается только для количественных переменных. Чем ближе модуль значения коэффициента корреляции к единице, тем более тесной является связь между исследуемыми переменными. Данный коэффициент изменяется в пределах [-1; +1]. Если значение коэффициента корреляции находится в пределах от нуля до единицы, то связь между переменными прямая, т. е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая переменная, и наборот. Если коэффициент корреляции находится в пределах от минус еиницы до нуля, то связь между переменными обратная, т. е. с увеличением независимой переменной уменьшается зависимая переменная, и наоборот. Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь между переменными отсутствует. Если коэффициент корреляции равен единице или минус единице, то связь между переменными существует функциональная связь, т. е. изменения независимой и зависимой переменных полностью соответствуют друг другу.

2) коэффициент детерминации рассчитывается как вадрат парного линейного коэффициента корреляции и обозначается как ryx2. Данный коэффициент характеризует в процентном отношении вариацию зависимой переменной, объяснённой вариацией независимой переменной, в общем объёме вариации.

Качество линейной модели множественной регрессии характеризуется с помощью показателей, построенных на основе теоремы о разложении дисперсий.

Теорема. Общая дисперсия зависимой переменной может быть разложена на объяснённую и необъяснённую построенной моделью регрессии дисперсии:

G2(y)=σ 2(y)+δ 2(y),

где G2(y) – это общая дисперсия зависимой переменной;

σ 2(y) – это объяснённая с помощью построенной модели регрессии дисперсия переменной у, которая рассчитывается по формуле: δ 2(y) – необъяснённая или остаточная дисперсия переменной у, которая рассчитывается по формуле: С использованием теоремы о разложении дисперсий рассчитываются следующие показатели качества линейной модели множественной регрессии:

1) множественный коэффициент корреляции между зависимой переменной у и несколькими независимыми переменными хi: Данный коэффициент характеризует степень тесноты связи между зависимой и независимыми переменными. Свойства множественного коэффициента корреляции аналогичны свойствам линейнойго парного коэффициента корреляции.

2) теоретический коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат множественного коэффициента корреляции: Данный коэффициент характеризует в процентном отношении вариацию зависимой переменной, объяснённой вариацией независимых переменных;

3) показатель характеризует в процентном отношении ту долю вариации зависимой переменной, которая не учитывается а построенной модели регрессии;

4) среднеквадратическая ошибка модели регрессии (Mean square error – MSE): где h– это количество параметров, входящих в модель регрессии.

Если показатель среднеквадратической ошибки окажется меньше показателя среднеквадратического отклонения наблюдаемых значений зависимой переменной от модельных значений β (у), то модель регрессии можно считать качественной.

Показатель среднеквадратического отклонения наблюдаемых значений зависимой переменной от модельных значений рассчитывается по формуле:

5) показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле: Если величина данного показателя составляет менее 6-7%, то качество построенной модели регрессии считается хорошим. Максимально допустимым значением показателя средней ошибки аппроксимации считается 12-15 %.